Question

如圖，△ABC的高AD、BE交于點H，若BH=AC，證明：
（1）∠ABC=45°；
（2）DH=DC；
（3）∠CED=45°．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）求出∠ADC=∠BDH=90°，∠CAD=∠DBH，根據(jù)AAS推出△ADC≌△BDH，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；
（3）證A、B、D、E四點共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出即可．

解答：證明：（1）∵△ABC的高AD、BE交于點H，
∴∠BEC=∠ADC=∠BDH=90°，
∴∠DBH+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠DBH=∠DAC，
在△ADC和△BDH中，

∠DAC=∠DBH ∠ADC=∠BDH AC=BH

，
∴△ADC≌△BDH（AAS），
∴AD=BD，
∵∠ADB=90°，
∴∠ABC=∠BAD=45°；

（2）∵△ADC≌△BDH，
∴DH=DC；

（3）∵∠AEB=∠ADB=90°，
∴A、B、D、E四點共圓，
∴∠CED=∠ABC=45°．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，難度偏大．