Question

20．如圖，直線y=kx+3與x軸，y軸分別交于A，B兩點，tan∠OAB=$\frac{3}{4}$，點C（x，y）是直線y=kx+3上與A，B不重合的動點．
（1）求直線y=kx+3的解析式；
（2）當(dāng)點C運動到什么位置時△AOC的面積是6；
（3）過點C的另一直線CD與y軸相交于D點，是否存在點C使△BCD與△AOB相似，且△BCD的面積是△AOB的面積的$\frac{1}{4}$？若存在，請求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線y=kx+3與y軸分別交于B點，以及tan∠OAB=$\frac{3}{4}$，即可得出A點坐標(biāo)，從而得出一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)△AOC的面積是6，得出三角形的高，即可求出C點的坐標(biāo)；
（3）利用△BCD與△AOB相似，利用C點不同位置，得出3種不同圖形，進(jìn)而利用相似，得出C點橫、縱坐標(biāo)，進(jìn)而得出C點坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵直線y=kx+3與y軸分別交于B點，
∴B（0，3），
∵tan∠OAB=$\frac{3}{4}$，
∴OA=4，
∴A（4，0），
∵直線y=kx+3過A（4，0），
∴4k+3=0，
∴k=-$\frac{3}{4}$，
∴直線的解析式為：y=-$\frac{3}{4}$x+3；

（2）∵A（4，0），
∴AO=4，
∵△AOC的面積是6，
∴△AOC的高為：3，
∴C點的縱坐標(biāo)為3，
∵直線的解析式為：y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∴3=-$\frac{3}{4}$x+3，
x=0，
∴點C運動到B點時，△AOC的面積是6（C是與A、B不重合的動點，所以不符合題意）；
如圖1，當(dāng)C點移動到x軸下方時，作CE⊥x軸于點E，
∵△AOC的面積是6，
∴$\frac{1}{2}$EC×AO=6，
解得：EC=3，
∴C點縱坐標(biāo)為：-3，
∴C點橫坐標(biāo)為：-3=-$\frac{3}{4}$x+3，
∴x=8，
∴點C點坐標(biāo)為（8，-3）時，△AOC的面積是6；

（3）①如圖2，當(dāng)CD⊥y軸于點D時，△BCD∽△BAO，
∵△BCD的面積是△AOB的面積的$\frac{1}{4}$，
∴相似比=$\frac{1}{2}$，∴BD=$\frac{1}{2}$BO=1.5，CD=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴C（-2，4.5）；
②當(dāng)CD⊥y軸于點D時，△BCD∽△BAO，
∵△BCD的面積是△AOB的面積的$\frac{1}{4}$，
∴相似比=$\frac{1}{2}$，∴BD=$\frac{1}{2}$BO=1.5，CD=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴C點坐標(biāo)為：（2，1.5）；
③當(dāng)CD⊥AB時，△BDC∽△BAO，
∵△BCD的面積是△AOB的面積的$\frac{1}{4}$，
∴相似比=$\frac{1}{2}$，
∴BC=1.5，AC=6.5，
過C作CF⊥OA，
則OB∥CF，
∴CF=3.9，F(xiàn)A=5.2，
∴OF=1.2，
∴C（-1.2，3.9）；
④當(dāng)DC⊥AB于點C，△BCD∽△BAO，作CM⊥x軸，
當(dāng)CB=1.5，BD=2.5，
∴BO∥C′M，
則有OM=1.2，C′M=2.1，
∴C（1.2，2.1）．

點評 此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，根據(jù)已知利用圖象上點的性質(zhì)得出點的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵．