Question

13．如圖，從A地到B地的公路需經(jīng)過C地，圖中AC=50km，∠CAB=25°，∠CBA=45°，因城市規(guī)劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路．
（Ⅰ）求改直的公路AB的長；
（Ⅱ）問公路改直后比原來縮短了多少km？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，$\sqrt{2}$取1.414）（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）

Answer 1

分析 （1）過點C作CD⊥AB與D，根據(jù)AC=50千米，∠CAB=25°，求出CD、AD，根據(jù)∠CBA=45°，求出BD、BC，最后根據(jù)AB=AD+BD列式計算即可，
（2）根據(jù)AC和BC的長度，即可得出公路改直后該段路程比原來縮短的路程．

解答 解：（1）過點C作CD⊥AB與D，
∵AC=50千米，∠CAB=25°，
∴CD=sin∠CAB•AC=sin25°×50≈0.42×50=21（千米），
AD=cos∠CAB•AC=cos25°×50≈0.91×50=45.5（千米），
∵∠CBA=45°，
∴BD=CD=21（千米），
BC=$\frac{CD}{sin∠CBA}$=$\frac{21}{sin45°}$≈29.7（千米），
∴AB=AD+BD=45.5+29.7=75.2（千米），

（2）∵AC=50千米，BC=29.7千米，
∴公路改直后該段路程比原來縮短50+29.7-76.7=3千米．

點評 此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．