Question

19．如圖，一觀測(cè)塔底座部分是四棱柱，現(xiàn)在從下底面A點(diǎn)修建鋼筋扶梯，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M、N到點(diǎn)D′，再進(jìn)入頂部的觀測(cè)室，已知AB=BC=CD=3米，高AA′=9米，問(wèn)點(diǎn)M、N位于什么位置，才能使扶梯的總長(zhǎng)度最小，從而造價(jià)最低？

Answer 1

分析 先將底座部分的側(cè)面展開(kāi)，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短找出最短路徑，最后由BB′∥CC′∥DD′列出比例求解即可．

解答 解：將四棱錐的側(cè)面展開(kāi)，連接AD′．

∵塔底座部分是四棱柱，
∴BB′∥CC′∥DD′．
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BM}{DD′}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{AC}{AD}=\frac{CN}{DD′}=\frac{2}{3}$．
∴BM=$\frac{1}{3}D′D=\frac{1}{3}BB′$，CN=$\frac{2}{3}DD′=\frac{2}{3}CC′$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是平面展開(kāi)路徑最短問(wèn)題，將底座部分的側(cè)面展開(kāi)，AD′之間的最短路徑是解題的關(guān)鍵．