Question

如圖（1），在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，點(diǎn)H是BC中點(diǎn)，過點(diǎn)H作DH⊥BC于H且與BA延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D．
（1）圖（1）中存在連接兩點(diǎn)的線段等于DB，請(qǐng)畫出此線段并說明理由；
（2）如圖（1），當(dāng)∠B=45°時(shí)，三條線段AB、AD、BC之間存在BC=AB+2AD，請(qǐng)給出證明；
（3）如圖（2），當(dāng)∠B=36°時(shí)，三條線段AB、AD、BC之間又存在何種確定的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出結(jié)論并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）連接CD，利用條件可以證明CD=BD；
（2）過A作AE⊥BC，可知AD=AE=BE，利用勾股定理可找到AB和AE之間的關(guān)系，且BC=2HB=

2

BD，代入可證明結(jié)論；
（3）設(shè)DH、AC交于點(diǎn)O，過O作OG⊥BD，則OG=OH，且DG=AG，可得到AB、AD、BC之間的關(guān)系．

解答：（1）解：
如圖1，連接CD，則CD=BD，理由如下：
∵DH⊥BC，且H為BC中點(diǎn)，
∴DC=DB；

（2）證明：
如圖2，過A作AE⊥BC，
∵∠B=∠BDH=45°，
∴∠DCH=45°，
∴∠CDB=90°，
∵∠DCB=∠DBC=2∠ACB，
∴AC平分∠DCB，且AD⊥CD，
∴AD=AE=BE，
∴BH=

2

2

BD，AD=BE=

2

2

AB，
∴BC=2BH=

2

BD，
∵BD=AB+AD=AB+

2

2

AB，
∴

2

BD=

2

AB+AB=2AD+AB，
∴BC=AB+2AD；

（3）解：
設(shè)DH、AC交于點(diǎn)O，過O作OG⊥BD，連接OB，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=∠OBG=18°，
∴OG=OH，
在△OHB和△OGB中

∠OBH=∠OBG ∠OGB=∠OHB OH=OG

∴△OHB≌△OGB（AAS），
∴BH=BG，
∵∠DBH=36°，
∴∠D=∠OAD=54°，
∴OD=OA，
∴DG=GA，
∴BG=BA+

1

2

AD，
∵BH=CH，
∴BC=2BH=2BG=2AB+AD，
AB、AD、BC之間的關(guān)系為：BC=2AB+AD．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，通過條件構(gòu)造等腰三角形是解題的關(guān)鍵，注意全等三角形的判定和方法．