Question

如圖，A、P、B、C是半徑為8的⊙O上的四點(diǎn)，且△ABC為等邊三角形．
（1）求∠P的度數(shù)及圓心O到BC的距離OD．
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,等邊三角形的性質(zhì),垂徑定理

專題：計(jì)算題

分析：（1）連結(jié)OB，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ABC=60°，再根據(jù)圓周角定理得到∠P=∠B=60°；接著根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到點(diǎn)O為等邊三角形ABC的內(nèi)心，
則OB平分∠ABC，即∠OBD=30°，然后在Rt△OBD中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OD=

1

2

OB=4；
（2）由垂徑定理得BD=CD，而BD=

3

OD=4

3

，則BC=8

3

，然后根據(jù)等邊三角形的面積公式計(jì)算．

解答：解：（1）連結(jié)OB，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠P=∠B=60°，
∵點(diǎn)O為等邊三角形ABC的外心，
∴點(diǎn)O為等邊三角形ABC的內(nèi)心，
∴OB平分∠ABC，即∠OBD=30°，
在Rt△OBD中，∵OB=8，
∴OD=

1

2

OB=4；
（2）∵OD⊥BC，
∴BD=CD，
∵BD=

3

OD=4

3

，
∴BC=8

3

，
∴△ABC的面積=

3

4

•（8

3

）²=48

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．