Question

12．如圖，菱形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，若AC=m，BD=n．
（1）求證：S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$mn；
（2）若菱形ABCD的周長為60，m+n=42．求S_菱形ABCD．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，可得S_△ACB=$\frac{1}{2}$•AC•OB，S_△ADC=$\frac{1}{2}$•AC•DO，推出S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$•AC•OB+$\frac{1}{2}$•AC•OD=$\frac{1}{2}$•AC（OB+OD）=$\frac{1}{2}$•AC•BD即可證明；
（2）利用勾股定理構(gòu)建方程組，求出mn的值即可解決問題；

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵S_△ACB=$\frac{1}{2}$•AC•OB，S_△ADC=$\frac{1}{2}$•AC•DO，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$•AC•OB+$\frac{1}{2}$•AC•OD=$\frac{1}{2}$•AC（OB+OD）=$\frac{1}{2}$•AC•BD，
∵AC=m，BD=n，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$mn；

（2）∵菱形ABCD的周長為60，
∴AB=15，
則有$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}m）^{2}+（\frac{1}{2}n）^{2}=1{5}^{2}}\\{m+n=42}\end{array}\right.$，由此可得mn=432，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$mn=216．

點(diǎn)評 本題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積等、二元二次方程組等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分割法求四邊形面積，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問題，屬于中考�？碱}型．