Question

13．已知拋物線C₁：y=-x²+2mx+1（m為常數(shù)，且m≠0）的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C；拋物線C₂與拋物線C₁關(guān)于y軸對(duì)稱，其頂點(diǎn)為B，若P是拋物線C₁上的點(diǎn)，使得以A，B，C，P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則m的值為±$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先假設(shè)成立，根據(jù)菱形的性質(zhì)求解，求得m=±$\sqrt{3}$．

解答 解：假設(shè)拋物線C₁上存在點(diǎn)P，使得四邊形ABCP為菱形，
則PC=AB=BC，
過(guò)點(diǎn)A作拋物線C₁的對(duì)稱軸，交x軸于D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，如圖所示：
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)C又在y軸上，
∴AC=BC．
∴AB=BC=AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠ACM=∠BCM=30°，
∵四邊形ABCP為菱形，且點(diǎn)P在C₁上，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AD對(duì)稱．
∴PC與AD的交點(diǎn)也為點(diǎn)E，
因此∠ACE=90°-30°=60°．
∵點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A（m，m²+1），C（0，1），
∴AE=m²+1-1=m²，CE=|m|，
在Rt△ACE中，tan60°=$\frac{AE}{CE}$=$\sqrt{3}$．
∴m=±$\sqrt{3}$，
故答案為：±$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)與四邊形以及軸對(duì)稱圖形的綜合知識(shí)；解題時(shí)要注意輔助線選擇與應(yīng)用，還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．