Question

12．如圖①，△ABC、△BDE是兩個大小不等的正三角形，且點E在BC上，連接AE、CD．
（1）線段AE和CD有怎樣的大小關系？請證明你的結論；
（2）將圖①中的△BDE繞點B旋轉一定的角度，得到圖②，（1）中的結論還成立嗎？作出判斷并說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖，證明△ABE≌△CBD，即可解決問題；
（2）根據(jù)等式的性質，可得∠ABE=∠CBD，根據(jù)全等三角形的判定與性質，可得答案．

解答 解：（1）AE=CD；理由如下：
∵△ABC和△BDE等邊三角形
∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°；
在△ABE與△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBD}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD．
（2）AE=CD；理由如下：
∵△ABC和△BDE等邊三角形
∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，
∠ABE=∠ABC-∠EBC，∠CBD=∠EBD-∠EBC，
∴∠ABE=∠CBD；
在△ABE與△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBD}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是觀察圖形，準確找出圖形中隱含的等量關系、全等關系．