Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，動點P從A點開始沿AD邊以1cm/s的速度向點D運動，動點Q從C點開始沿CB邊以3cm/s的速度向點B運動，P，Q分別從A，C同時出發(fā)，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．設運動的時間為t（s）．
（1）當t為何值時，四邊形ABQP是矩形；
（2）當t為何值時，四邊形PQCD是平行四邊形？
（3）問：四邊形PQCD是否能成菱形？若能，求出運動時間；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定,矩形的判定

專題：動點型

分析：（1）由在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，可得當AP=BQ時，四邊形ABQP是矩形，即可得方程：t=26-2t，解此方程即可求得答案．
（2）由在梯形ABCD中，AD∥BC，可得當PD=CQ時，四邊形PQCD是平行四邊形，即可得方程：15-t=2t，解此方程即可求得答案；
（3）由若四邊形PQCD是菱形，則四邊形PQCD是平行四邊形，根據(jù)（2）中的求解答案，分析看此時能否為菱形，因為CD≠PD，即可得四邊形PQCD不可能是菱形；

解答：解：根據(jù)題意得：AP=tcm，CQ=3tcm，
∵AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，
∴DP=AD-AP=24-t（cm），BQ=26-3t（cm），
（1）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，
∴當AP=BQ時，四邊形ABQP是矩形，
∴t=26-3t，
解得：t=6.5，
∴當t=6.5時，四邊形ABQP是矩形；

（2）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴當PD=CQ時，四邊形PQCD是平行四邊形，
∴24-t=3t，
解得：t=6，
∴當t=6時，四邊形PQCD是平行四邊形；

（3）若四邊形PQCD是菱形，則四邊形PQCD是平行四邊形，
根據(jù)（2）得：t=6s，
∴PD=24-t=24-6=18（cm），
過點D作DE⊥BC于E，
∴四邊形ABED是矩形，
∴BE=AD=24cm，
∴EC=BC-BE=26-24=2（cm），DE=AB=8cm，
∴DC=

DE2+EC2

=2

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≠PD，
∴四邊形PQCD不可能是菱形；

點評：此題考查了直角梯形的性質、平行四邊形的判定與性質以及矩形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．