Question

12．如圖1，直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M，N．Rt△ABC的頂點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，BC在x軸正半軸上，BC=1，∠ABC=60°．將△ABC沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時(shí)，△ABC停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)點(diǎn)A落在直線MN上時(shí)，求t的值；
（2）在（1）基礎(chǔ)上，△ABC繼續(xù)平移，AB，AC分別交線段MN于點(diǎn)E，F(xiàn)（如圖2）．
①t為何值時(shí)，S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
②若當(dāng)點(diǎn)A剛好落在直線MN上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)從頂點(diǎn)B出發(fā)，以每秒$\frac{1}{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿B→A運(yùn)動(dòng)，△ABC停止平移時(shí)，點(diǎn)P隨之停止．則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，△PEF與△MON相似？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)解析式易求ON、OM的值，以及∠NMO=30°，在Rt△ABC中，根據(jù)∠NMO=30°，可得BM=2AB，由BM=6-t，AB=2，可求得t的值；
（2）①根據(jù)BM=6-t，AB⊥NM，分別表示出BE、AE、EF的長(zhǎng)度，然后根據(jù)S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC，代入三角形的面積公式，求出t的值；
②根據(jù)圖形可得，分別表示出當(dāng)2≤t≤4時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)P在BE上，當(dāng)4≤t≤6時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)P在AE上時(shí)PE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)角度的不同分情況，求出t的值．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)解析式易求ON=2$\sqrt{3}$，OM=6，∠NMO=30°，
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，BC=1，
∴AB=2，AC=$\sqrt{3}$，
當(dāng)點(diǎn)A在MN上時(shí)，
∵∠ABC=60°，∠NMO=30°，
∴AB⊥NM，
∴BM=2AB，
由BM=6-t，AB=2，
可得6-t=4，
解得：t=2；

（2）①如圖2，
∵BM=6-t，AB⊥NM，
∴BE=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}$（6-t）=3-$\frac{1}{2}$t，
∴AE=AB-BE=2-（3-$\frac{1}{2}$t）=$\frac{1}{2}$t-1，
∴EF=AE•tan30°=$\frac{\sqrt{3}t-2\sqrt{3}}{6}$，
∵S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴（$\frac{1}{2}$t-1）×$\frac{\frac{1}{2}t-1}{\sqrt{3}}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：t₁=2+$\sqrt{6}$，t₂=2-$\sqrt{6}$（不合題意，舍去）；
②PE=3-$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{2}$（t-2）=4-t（2≤t≤4），
或PE=$\frac{1}{2}$（t-2）-（3-$\frac{1}{2}$t）=t-4（4≤t≤6），
要使△PEF與△OMN相似，
即△PEF為含有30°的直角三角形，而∠PEF始終為直角．
（i）當(dāng)點(diǎn)P在BE上，即當(dāng)2≤t≤4時(shí)，
若∠PFE=30°，
則$\sqrt{3}$（4-t）=$\frac{\sqrt{3}t-2\sqrt{3}}{6}$，
解得：t=$\frac{26}{7}$；
若∠EPF=30°，
則4-t=$\frac{\sqrt{3}t-2\sqrt{3}}{6}$×$\sqrt{3}$，
解得：t=$\frac{10}{3}$；
（ii）當(dāng)點(diǎn)P在AE上，即當(dāng)4≤t≤6時(shí)，
若∠PFE=30°，
則$\sqrt{3}$（t-4）=$\frac{\sqrt{3}t-2\sqrt{3}}{6}$，
解得：t=$\frac{22}{5}$；
若∠EPF=30°，
則t-4=$\frac{\sqrt{3}t-2\sqrt{3}}{6}$×$\sqrt{3}$，
解得：t=6；
而當(dāng)t=6時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)A重合，AC與線段MN沒(méi)有交點(diǎn)，
所以t=6不合題意舍去，
綜上所述，當(dāng)t₁=$\frac{26}{7}$，t₂=$\frac{10}{3}$，t₃=$\frac{22}{5}$時(shí)，△PEF與△MON相似．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到含30度角的直角三角形、三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大，尤其是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，給此題增加了一定的難度，此題屬于難題．