Question

20．已知，如圖等邊三角形ABC和正方形BDEC的邊長均為2，⊙O經(jīng)過點A，D，E三點．
求：⊙O的半徑．

Answer 1

分析 作AF⊥BC，垂足為F，并延長交DE于H點．根據(jù)其軸對稱性，則圓心必定在AH上．設(shè)其圓心是O，連接OD，OE．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，可以求得AH，DH的長，設(shè)圓的半徑是r．在直角三角形BOH中，根據(jù)勾股定理列方程求解．

解答 解：
如圖2，作AF⊥BC，垂足為F，并延長AF交DE于H點．
∵△ABC為等邊三角形，
∴AF垂直平分BC，
∵四邊形BDEC為正方形，
∴AH垂直平分正方形的邊DE．
又∵DE是圓的弦，
∴AH必過圓心，記圓心為O點，并設(shè)⊙O的半徑為r．
在Rt△ABF中，
∵∠BAF=30°，
∴AF=AB•cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴OH=AF+FH-OA=$\sqrt{3}$+2-r．
在Rt△ODH中，OH²+DH²=OD²．
∴（2+$\sqrt{3}$-r）²+1²=r²．
解得r=2．
∴該圓的半徑長為2．

點評 本題考查了垂徑定理，等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理．該題的綜合性比較強，需要學生對所學的知識有一個比較系統(tǒng)的掌握．