Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M過(guò)原點(diǎn)O，與x軸交于A（4，0），與y軸交于B（0，3），點(diǎn)C為劣弧AO的中點(diǎn)，連接AC并延長(zhǎng)到D，使DC=4CA，連接BD．
（1）求⊙M的半徑；
（2）證明：BD為⊙M的切線；
（3）在直線MC上找一點(diǎn)P，使|DP-AP|最大．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）利用A，B點(diǎn)坐標(biāo)得出AO，BO的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AB的長(zhǎng)，即可得出圓的半徑；
（2）根據(jù)A，B 兩點(diǎn)求出直線AB表達(dá)式為：y=-

3

4

x+3，根據(jù) B，D 兩點(diǎn)求出 BD 表達(dá)式為 y=

4

3

x+3，進(jìn)而得出BD⊥AB，求出BD為⊙M的切線；
（3）根據(jù)D，O兩點(diǎn)求出直線DO表達(dá)式為 y=

5

6

x 又在直線 DO 上的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，所以 p（2，

5

3

），此時(shí)|DP-AP|=DO=

61

．

解答：（1）解：∵由題意可得出：OA²+OB²=AB²，AO=4，BO=3，
∴AB=5，
∴圓的半徑為

5

2

；

（2）證明：由題意可得出：M（2，

3

2

）
又∵C為劣弧AO的中點(diǎn)，由垂徑定理且 MC=

5

2

，故 C（2，-1）
過(guò) D 作 DH⊥x 軸于 H，設(shè) MC 與 x 軸交于 K，
則△ACK∽△ADH，
又∵DC=4AC，
故 DH=5KC=5，HA=5KA=10，
∴D（-6，-5）
設(shè)直線AB表達(dá)式為：y=ax+b，

4k+b=0 b=3

，
解得：

k=- 3 4 b=3

故直線AB表達(dá)式為：y=-

3

4

x+3，
同理可得：根據(jù)B，D兩點(diǎn)求出BD的表達(dá)式為y=

4

3

x+3，
∵k_AB×k_BD=-1，
∴BD⊥AB，BD為⊙M的切線；

（3）解：取點(diǎn)A關(guān)于直線MC的對(duì)稱點(diǎn)O，連接DO并延長(zhǎng)交直線MC于P，
此P點(diǎn)為所求，且線段DO的長(zhǎng)為|DP-AP|的最大值；
設(shè)直線DO表達(dá)式為 y=kx，
∴-5=-6k，
解得：k=

5

6

，
∴直線DO表達(dá)式為 y=

5

6

x
又∵在直線DO上的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，y=

5

3

，
∴P（2，

5

3

），
此時(shí)|DP-AP|=DO=

62+52

=

61

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及兩直線垂直系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，得出直線DO，AB，BD的解析式是解題關(guān)鍵．