Question

4．在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在射線CB上，且CE=DE．

（1）特殊情況，探索結(jié)論
如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是AB中點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與BD的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論：AE=BD（填“＞”、“＜”或“=”）．
（2）特例啟發(fā)，問(wèn)題探究
如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是線段AB上除端點(diǎn)和中點(diǎn)外的任一點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(xiě)出你的猜想并加以證明．
（3）拓展延伸
如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)D在BC邊上，且CE=DE，（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(xiě)出你的猜想并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BCE=30°，AE=BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠D=∠ECD=30°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠DEB=30°即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，過(guò)E作EF∥BC交AC于F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=60°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEF=∠AFE=60°推出△AEF是等邊三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=FE，等量代換得到結(jié)論；
（3）過(guò)E作EF∥BC交CA的延長(zhǎng)線于F，于是得到∠1=∠F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠EAF=∠2=∠F=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=EF，等量代換得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，
∴∠BCE=30°，AE=BE，
∵DE=CE，
∴∠D=∠ECD=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠DEB=30°，
∴∠D=∠DEB，
∴BD=BE，
∴AE=BD；

（2）（1）中的結(jié)論不發(fā)生變化，
理由：如圖2，過(guò)E作EF∥BC交AC于F，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，∠3=120°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=EF，∠4=120°，
∴∠3=∠4，
∵DE=CE，
∴∠D=∠1，
∴∠D=∠2，
在△BDE與△FEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠2}\\{∠3=∠4}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FEC，
∴BD=FE，
∴AE=BD；

（3）不發(fā)生變化，
理由：過(guò)E作EF∥BC交CA的延長(zhǎng)線于F，
∴∠1=∠F，∠BCE+∠CEF=180°，
∵∠B=∠1=∠BAC=60°，
∴∠EAF=∠2=∠F=60°，
∴AE=EF，∠F=∠B，
∵DE=CE，
∴∠3=∠BCE，
∵∠3+∠4=180°，
∴∠4=∠CEF，
在△BDE與△FEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠4=∠CEF}\\{∠B=∠F}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FEC，
∴BD=EF，
∴AE=BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵．