Question

10．已知：直線(xiàn)y=-$\frac{1}{2}$x+2與x軸交于點(diǎn)A，直線(xiàn)y=3x-1與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，兩直線(xiàn)交于點(diǎn)D
（1）求點(diǎn)D坐標(biāo)；
（2）求S_△ABD；
（3）若點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，且滿(mǎn)足PA=PD，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立兩直線(xiàn)解析式成方程組，解方程組即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）將y=0代入直線(xiàn)AB的解析式中求出x值，由此即可得出OA的長(zhǎng)度，再利用三角形的面積公式結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)即可求出三角形OAC的面積．
（3）根據(jù)點(diǎn)A、D的坐標(biāo)求得AD中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)設(shè)出線(xiàn)段AD的垂直平分線(xiàn)為y=2x+b，代入即可求得垂直平分線(xiàn)的解析式，然后分點(diǎn)P在點(diǎn)x軸上與在y軸上兩種情況寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=3x-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{7}}\\{y=\frac{11}{7}}\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{6}{7}$，$\frac{11}{7}$）；
（2）當(dāng)y=0時(shí)，則0=-$\frac{1}{2}$x+2，
解得：x=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），
∴OA=6，
則0=3x-1，
解得：x=$\frac{1}{3}$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\frac{1}{3}$，0），
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•y_D=$\frac{1}{2}$×（4-$\frac{1}{3}$）×$\frac{11}{7}$=$\frac{121}{42}$．
（3）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），D（$\frac{6}{7}$，$\frac{11}{7}$），
∴AD的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{17}{7}$，$\frac{11}{14}$），
∵A、D在直線(xiàn)y=-$\frac{1}{2}$x+2上，
∴線(xiàn)段AD的垂直平分線(xiàn)為y=2x+b，
代入（$\frac{17}{7}$，$\frac{11}{14}$）得b=-$\frac{47}{14}$，
∴線(xiàn)段AD的垂直平分線(xiàn)為y=2x-$\frac{47}{14}$，
∴當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{47}{28}$，0），
當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-$\frac{47}{14}$），
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{47}{28}$，0）或（0，-$\frac{47}{14}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩條直線(xiàn)相交或平行問(wèn)題，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及三角形面積，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過(guò)解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．