Question

2．如圖，已知一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+1的圖象交于點(diǎn)B、C兩點(diǎn)，與x軸交于D、E兩點(diǎn)，且D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，從O點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向右運(yùn)動(dòng)，是否存在動(dòng)點(diǎn)P，使得△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若動(dòng)點(diǎn)P在x軸上，動(dòng)點(diǎn)Q在射線AC上，同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿x軸正方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒a個(gè)單位的速度沿射線AC運(yùn)動(dòng)，是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似？若存在，求a的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一次函數(shù)的解析式可找出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）假設(shè)存在，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0）．聯(lián)立直線與拋物線解析式成方程組，解方程組求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B、P的坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出PB、PC、BC的長(zhǎng)度，再利用勾股定理即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（3）假設(shè)存在，則AP=2t，AQ=at．由一次函數(shù)解析式即可找出點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)B、D的坐標(biāo)即可得出AB、AD的長(zhǎng)度，分△PAQ∽BAD和△PAQ∽△DAB兩種情況考慮，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解方程即可求出a值，此題得解．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=1，
∴B（0，1）．
將點(diǎn)B（0，1）、D（1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c中，
$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{1}{2}+b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1．
（2）假設(shè)存在，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0）．
聯(lián)立直線AB與拋物線的解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3）．
∵B（0，1），P（t，0），
∴BC=2$\sqrt{5}$，CP=$\sqrt{（4-t）^{2}+（3-0）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}-8t+25}$，BP=$\sqrt{（t-0）^{2}+（0-1）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+1}$，
∵在Rt△PBC中，∠BPC=90°，
∴BC²=CP²+BP²，即20=t²-8t+25+t²+1，
解得：t₁=1，t₂=3．
故存在動(dòng)點(diǎn)P，使得△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為1秒或3秒．
（3）假設(shè)存在，則AP=2t，AQ=at．
當(dāng)y=0時(shí)，x=-2，
∴A（-2，0）．
∵B（0，1）、D（1，0），
∴AB=$\sqrt{5}$，AD=3．
∵∠PAQ=∠BAD，
∴以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似有兩種情況：
①當(dāng)△PAQ∽BAD時(shí)，有$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AD}$，即$\frac{2t}{\sqrt{5}}=\frac{at}{3}$，
解得：a=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
②當(dāng)△PAQ∽△DAB時(shí)，有$\frac{AP}{AD}=\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{2t}{3}=\frac{at}{\sqrt{5}}$，
解得：a=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．
綜上可知：存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似，a的值為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用勾股定理找出關(guān)于t的一元二次方程；（3）分△PAQ∽BAD和△PAQ∽△DAB兩種情況考慮．本體屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．