Question

14．正方形ABCD中，直線l經過點A，過點B、D分別作直線l的垂線，垂足分別為E、F，若BE=7，DF=4，則DE的長度為$\sqrt{137}$或5．

Answer 1

分析 分l經過正方形外部和內部兩種情況，可證得△ABE≌△DAF，則可求得AE和AF的長，則可求得EF的長，連接DE，在Rt△DEF中，利用勾股定理可求得答案．

解答 解：
當直線l在正方形外部時，如圖1，連接DE，

∵BE⊥EF，DF⊥EF，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠DAF=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
在△ABE和△DAF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEA=∠AFD}\\{∠ABE=∠DAF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE=DF=4，AF=BE=7，
∴EF=AE+AF=11，
在Rt△DEF中，由勾股定理可得DE=$\sqrt{D{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+1{1}^{2}}$=$\sqrt{137}$，
當直線l經過正方形內部時，如圖2，連接DE，

同理可證得△ABE≌△DAF，
∴AE=4，AF=7，
∴EF=AF-AE=3，
在Rt△DEF中，由勾股定理可得DE=5，
故答案為：$\sqrt{137}$或5．

點評 本題主要考查正方形的性質及全等三角形的判定和性質，利用條件證得全等三角形，求得AE和AF的長是解題的關鍵，注意分情況討論．