Question

如圖，延長等邊△ABC的邊AB到D，使BD=3，延長BC到E，使CE=4，延長CA到F，使AF=5，若△DEF的面積為

75

4

3

，求△ABC的邊長．

Answer 1

考點：等邊三角形的性質(zhì),三角形的面積

專題：

分析：連接BF，CD，設△ABC的邊長為x，面積為S，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)用x表示出S的值，再根據(jù)△ABC與△ACF等高可用S表示出△ACE的面積，同理可得出△AEF、△ABF、△BDF、△BDC、△CDE的面積，再根據(jù)△DEF的面積為

75

4

3

即可得出結(jié)論．

解答：解：連接BF，CD．
設△ABC的邊長為x，面積為S，
∵△ABC是等邊三角形，
∴S=

3

4

x²．
∵△ABC與△ACE同高，CE=4，
∴S_△ACE=

4

x

•S．
同理，△AEF與△ACE同高，
∴S_△AEF=

5

x

•S_△ACE=

5

x

•

4

x

•S，
∴S_△ABF=

5

x

•S，S_△BDF=

3

x

•S_△ABF=

3

x

•

5

x

•S，S_△BDC=

3

x

•S，S_△CDE=

4

x

•S_△BDC=

4

x

•

3

x

•S，
∴S_△DEF=S_△ABC+S_△ACE+S_△AEF+S_△ABF+S_△BDF+S_△BDC+S_△CDE=（1+

4

x

+

5

x

•

4

x

+

5

x

+

3

x

•

5

x

+

3

x

+

4

x

•

3

x

）S
=

12x+47+x2

x2

S
=

12x+47+x2

x2

•

3

4

x²=

75

4

3

，
解得x=2．
故△ABC的邊長為2．

點評：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等高三角形是解答此題的關鍵．