Question

15．如圖，拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x-2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)A的直線y=x+2交y軸于D，交拋物線于P點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求△PAC的外接圓的直徑長．

Answer 1

分析 （1）令x=0，求得直線y=x+2交y軸的交點(diǎn)D；
（2）求得拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x-2與y軸的交點(diǎn)C，進(jìn)一步把拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x-2與直線y=x+2聯(lián)立方程組求得A、P兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理求得AP、AC、PC，根據(jù)勾股定理逆定理判定△PAC的形狀，進(jìn)一步求得外接圓的直徑長即可．

解答 解：（1）令x=0，則y=x+2=2，
則點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，2）；
（2）令x=0，則拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x-2與y軸的交點(diǎn)C為（0，-2），
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{1}{2}x-2}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=10}\end{array}\right.$，
因此點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2，0），P點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，10），
則AC=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，AP=$\sqrt{1{0}^{2}+1{0}^{2}}$=10$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{{8}^{2}+1{2}^{2}}$=4$\sqrt{13}$，
∵AC²+AP²=8+200=208，PC²=208，
∴AC²+AP²=PC²，
∴△PAC為直角三角形，且PC為斜邊，
∴△PAC的外接圓的直徑長為4$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，勾股定理、勾股定理逆定理的運(yùn)用，三角形的外交圓的性質(zhì)，求得△PAC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，求得三邊長是解決問題的關(guān)鍵．