Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15．sin∠A=

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，點D是BC的中點，點P是AB上一動點（不與點B重合），延長PD至E，使DE=PD，連接EB、EC．
（1）求證；四邊形PBEC是平行四邊形；
（2）填空：①當AP的值為

 

時，四邊形PBEC是矩形；
           ②當AP的值為

 

時，四邊形PBEC是菱形．

Answer 1

考點：矩形的判定,平行四邊形的判定,菱形的判定

專題：幾何圖形問題

分析：（1）根據(jù)對角線互相平分的四邊形為平行四邊形證明即可；
（2）①若四邊形PBEC是矩形，則∠APC=90°，求得AP即可；
②若四邊形PBEC是菱形，則CP=PB，求得AP即可；

解答：解：∵點D是BC的中點，
∴BD=CD，
∵DE=PD，
∴四邊形PBEC是平行四邊形；

（2）①當∠APC=90°時，四邊形PBEC是矩形，
∵AC=15．sin∠A=

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，
∴PC=12，
由勾股定理得AP=9，
∴當AP的值為9時，四邊形PBEC是矩形；

②∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15．sin∠A=

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，
所以設BC=4x，AB=5x，
則（4x）²+15²=（5x）²，
解得：x=5，
∴AB=5x=25，
當PC=PB時，四邊形PBEC是菱形，
此時點P為AB的重點，
所以AP=12.5，
∴當AP的值為12.5時，四邊形PBEC是菱形．

點評：本題考查了菱形的性質、平行四邊形的判定和性質、矩形的判定，解題的關鍵是掌握特殊圖形的判定以及重要的性質．