Question

8．如圖所示，正方形ABCD中，AB=1，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)到點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從點(diǎn)D開(kāi)始到點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，且BP⊥CE，垂足為點(diǎn)F，連接PE．
（1）設(shè)BP=x，CF=y，求y與x之間函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；
（2）若CF=2EF，求BP的長(zhǎng)；
（3）是否存在點(diǎn)P，使得△AEP與△BEC相似？若存在，求出AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）證明△BFC∽△PAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，計(jì)算即可；
（2）證明△BAP≌△CBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE=BP，根據(jù)題意列出方程，解方程即可；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵BP⊥CE，
∴∠FEB+∠FBE=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠FEB+∠BCE=90°，
∴∠BCE=∠FBE，又∠BFC=∠PAB=90°，
∴△BFC∽△PAB，
∴$\frac{CF}{AB}$=$\frac{BC}{BP}$，即$\frac{y}{1}$=$\frac{1}{x}$，
整理得，y=$\frac{1}{x}$，（1≤x≤$\sqrt{2}$）；
（2）在△BAP和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABP=∠BCE}\\{AB=BC}\\{∠BAP=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△CBE，
∴CE=BP=x，
∵CF=2EF，
∴y=$\frac{2}{3}$x，又y=$\frac{1}{x}$，
解得，x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
答：BP=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（3）由（2）得，△BAP≌△CBE，
∴BE=AP，
設(shè)AP=x，則BE=x，AE=1-x，
當(dāng)△AEP∽△BCE時(shí)，$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AP}{BE}$，即$\frac{1-x}{1}$=1，
解得，x=0；
當(dāng)△AEP∽△BEC時(shí)，$\frac{AP}{BC}$=$\frac{AE}{BE}$，即$\frac{x}{1}$=$\frac{1-x}{x}$，
解得，x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
∴當(dāng)AP=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$時(shí)，△AEP與△BEC相似．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意分情況討論思想的靈活運(yùn)用．