Question

19．已知：二次函數(shù)y=mx²+2mx-3m的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在左，點(diǎn)B在右），與y軸交于點(diǎn)C（m＞0），頂點(diǎn)為D．當(dāng)m取何值時(shí)，以A、D、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似？

Answer 1

分析 分兩種情形討論即可：①當(dāng)∠ACD=90°時(shí)，作DH⊥OC于H．由△AOC∽△CHD，推出$\frac{OA}{CH}$=$\frac{OC}{DH}$，可得$\frac{3}{m}$=$\frac{3m}{1}$，解得m=1或-1（舍棄），由此即可判斷．②當(dāng)∠ADC=90°時(shí)，作DH⊥OC于H，AE⊥DH于E．由△AED∽△DHC，可得$\frac{AE}{DH}$=$\frac{DE}{CH}$，可得$\frac{4m}{1}$=$\frac{2}{m}$，求得m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍棄），由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：①當(dāng)∠ACD=90°時(shí)，作DH⊥OC于H．

由題意可知A（-3，0），B（1，0），C（0，-3m），D（-1，-4m），
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠DCH=90°，
∴∠CAO=∠DCH，∵∠AOC=∠DHC=90°，
∴△AOC∽△CHD，
∴$\frac{OA}{CH}$=$\frac{OC}{DH}$，
∴$\frac{3}{m}$=$\frac{3m}{1}$，
∴m=1或-1（舍棄），
∴C（0，-3），D（-1，-4），
∴OA=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{OC}{OB}$=3，
∴$\frac{AC}{OC}$=$\frac{CD}{OB}$，∵∠ACD=∠BOC=90°，
∴△BOC∽△DCA．
②當(dāng)∠ADC=90°時(shí)，作DH⊥OC于H，AE⊥DH于E．

由△AED∽△DHC，可得$\frac{AE}{DH}$=$\frac{DE}{CH}$，
∴$\frac{4m}{1}$=$\frac{2}{m}$，
∴m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍棄），
∴AE=2$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{3}$，DC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
顯然此時(shí)△ADC與△OBC不相似．
綜上所述，m=1時(shí)，以A、D、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．