Question

1．如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，且AE=DF．
（1）試判斷△ECF的形狀并說明理由；
（2）若AB=6，那么△ECF的周長是否存在最小值？如果存在，請求出來；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）要判斷△ECF的形狀，只要得到各邊的關(guān)系或者各角的關(guān)系即可，根據(jù)在菱形ABCD中，∠B=60°，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，且AE=DF，可以得到三角形CEF各邊的關(guān)系，從而可以解答本題；
（2）由題意可得，當(dāng)邊CE最短時(shí)，則△CEF的周長最短，根據(jù)點(diǎn)C到線段AB的最短距離是CE⊥AB，可以得到CE的長，本題得以解決．

解答 解：（1）△ECF是等邊三角形，
理由：連接CA，如右圖所示，
∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，AE=DF，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=120°，
∴∠FAC=60°，BE=AF，AB=BC=AC，
在△AFC和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BE}\\{∠FAC=∠B}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△BEC（SAS）
∴CF=CE，∠ACF=∠BCE，
又∵∠BCE+∠ECA=60°，
∴∠ECA+∠ACF=60°，
∴△ECF是等邊三角形；
（2）若AB=6，那么△ECF的周長存在最小值，最小值是3$\sqrt{3}$；
理由：∵∠B=60°，AB=2，點(diǎn)C到線段AB的最短距離是當(dāng)線段CE⊥AB時(shí)，
∴∠BEC=90°，
∴CE=$\sqrt{3}$，
由（1）知△CEF是等邊三角形，
∴△ECF的周長的最小值是$3\sqrt{3}$

點(diǎn)評 本題考查菱形的性質(zhì)、最短路線問題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．