Question

7．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=$\frac{4}{3}$x+4與x軸交于A、與y軸交于 B，點C（a，b），其中a＜b，且a、b是方程x²-7x+12=0的兩根．
（1）求直線AC的解析式；
（2）點D為直線AC與y軸的交點，請求出△ABD和△BCD的周長差；
（3）點E是線段AC上一動點，是否存在點E，使△COE為直角三角形？若存在，請求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由a、b是方程x²-7x+12=0的兩根，可求出a、b的值，從而得出點C的坐標(biāo)，再由直線AB的解析式可求出點A的坐標(biāo)，根據(jù)點A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式；
（2）由直線AB的解析式可求出點B的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式即可求出線段AB、BC的長度，根據(jù)A、B、O、C的坐標(biāo)即可得出四邊形ABCO為平行四邊形，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的周長公式即可得出結(jié)論；
（3）假設(shè)存在，設(shè)點E的坐標(biāo)為（m，$\frac{2}{3}$m+2）．根據(jù)兩點間的距離公式求出線段OC、OE、CE的長度，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)分∠OEC=90°和∠COE=90°兩種情況來考慮，再根據(jù)勾股定理即可得出關(guān)于m的方程，解方程即可求出m的值，將其代入點E的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵a、b是方程x²-7x+12=0的兩根，且a＜b，
∴a=3，b=4，
∴點C（3，4）．
令y=$\frac{4}{3}$x+4中y=0，則$\frac{4}{3}$x+4=0，
解得：x=-3，點A（-3，0）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+c（k±0），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=-3k+c}\\{4=3k+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=$\frac{2}{3}$x+2．
（2）令y=$\frac{4}{3}$x+4中x=0，則y=4，
∴點B（0，4）．
∵A（-3，0），C（3，4），
∴OA=3，OB=4，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，BC=3．
∵B（0，4），C（3，4），
∴線段BC所在的直線解析式為y=4，
∴BC∥x軸∥OA，
∵BC=3=OA，
∴四邊形ABCO為平行四邊形，
∴AD=CD．
C_△ABD-C_△BCD=（AB+BD+DA）-（BC+CD+DB）=AB-BC=5-3=2．
（3）假設(shè)存在，設(shè)點E的坐標(biāo)為（m，$\frac{2}{3}$m+2）．
∵∠ACO＜90°，
∴△COE為直角三角形有兩種情況，如圖所示．

∵O（0，0），C（3，4），E（m，$\frac{2}{3}$m+2），
∴OC=5，OE=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{2}{3}m+2）^{2}}$，CE=$\sqrt{（m-3）^{2}+（\frac{2}{3}m+2-4）^{2}}$．
①當(dāng)∠OEC=90°時，有OE²+CE²=OC²，
即${m}^{2}+（\frac{2}{3}m+2）^{2}$+$（m-3）^{2}+（\frac{2}{3}m-2）^{2}$=25，
解得：m=-$\frac{12}{13}$，或m=3（舍去），
此時點E的坐標(biāo)為（-$\frac{12}{13}$，$\frac{18}{13}$）；
②當(dāng)∠COE=90°時，有OE²+OC²=CE²，
即${m}^{2}+（\frac{2}{3}m+2）^{2}$+25=$（m-3）^{2}+（\frac{2}{3}m-2）^{2}$，
解得：m=-$\frac{24}{17}$，
此時點E的坐標(biāo)為（-$\frac{24}{17}$，$\frac{18}{17}$）．
故存在點E，使△COE為直角三角形，點E的坐標(biāo)為（-$\frac{12}{13}$，$\frac{18}{13}$）和（-$\frac{24}{17}$，$\frac{18}{17}$）．

點評 本題考查了解一元二次方程、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的判定及性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）找出四邊形ABCO為平行四邊形；（3）分兩種情況討論，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于m的方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，找出點的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．