Question

【合作學習】
如圖，矩形ABOD的兩邊OB，OD都在坐標軸的正半軸上，OD=3，另兩邊與反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象分別相交于點E，F(xiàn)，且DE=2．過點E作EH⊥x軸于點H，過點F作FG⊥EH于點G．回答下面的問題：
①該反比例函數(shù)的解析式是什么？
②當四邊形AEGF為正方形時，點F的坐標是多少？

（1）閱讀合作學習內容，請解答其中的問題；
（2）小亮進一步研究四邊形AEGF的特征后提出問題：“當AE＞EG時，矩形AEGF與矩形DOHE能否全等？能否相似？”
針對小亮提出的問題，請你判斷這兩個矩形能否全等？直接寫出結論即可；這兩個矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，試說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）①先根據矩形的性質得到D（2，3），然后利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征計算出k=6，則得到反比例函數(shù)解析式為y=

6

x

；
②設正方形AEGF的邊長為a，則AE=AF=a，根據坐標與圖形的關系得到B（2+a，0）），A（2+a，3），所以F點坐標為（2+a，3-a），于是利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得（2+a）（3-a）=6，然后解一元二次方程可確定a的值，從而得到F點坐標；
（2）當AE＞EG時，假設矩形AEGF與矩形DOHE全等，則AE=OD=3，AF=DE=2，則得到F點坐標為（3，3），根據反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可判斷點F（3，3）不在反比例函數(shù)y=

6

x

的圖象上，由此得到矩形AEGF與矩形DOHE不能全等；
當AE＞EG時，若矩形AEGF與矩形DOHE相似，根據相似的性質得AE：OD=AF：DE，即

AE

AF

=

OD

DE

=

3

2

，設AE=3t，則AF=2t，得到F點坐標為（2+3t，3-2t），
利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得（2+3t）（3-2t）=6，解得t₁=0（舍去），t₂=

5

6

，則AE=3t=

5

2

，于是得到相似比=

AE

OD

=

5

6

．

解答：解：（1）①∵四邊形ABOD為矩形，EH⊥x軸，
而OD=3，DE=2，
∴E點坐標為（2，3），
∴k=2×3=6，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

6

x

（x＞0）；
②設正方形AEGF的邊長為a，則AE=AF=a，
∴B點坐標為（2+a，0）），A點坐標為（2+a，3），
∴F點坐標為（2+a，3-a），
把F（2+a，3-a）代入y=

6

x

得（2+a）（3-a）=6，解得a₁=1，a₂=0（舍去），
∴F點坐標為（3，2）；

（2）①當AE＞EG時，矩形AEGF與矩形DOHE不能全等．理由如下：
假設矩形AEGF與矩形DOHE全等，則AE=OD=3，AF=DE=2，
∴A點坐標為（5，3），
∴F點坐標為（3，3），
而3×3=9≠6，
∴F點不在反比例函數(shù)y=

6

x

的圖象上，
∴矩形AEGF與矩形DOHE不能全等；
②當AE＞EG時，矩形AEGF與矩形DOHE能相似．
∵矩形AEGF與矩形DOHE能相似，
∴AE：OD=AF：DE，
∴

AE

AF

=

OD

DE

=

3

2

，
設AE=3t，則AF=2t，
∴A點坐標為（2+3t，3），
∴F點坐標為（2+3t，3-2t），
把F（2+3t，3-2t）代入y=

6

x

得（2+3t）（3-2t）=6，解得t₁=0（舍去），t₂=

5

6

，
∴AE=3t=

5

2

，
∴相似比=

AE

OD

=

5 2

3

=

5

6

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、矩形的性質和圖形全等的性質、相似的性質；理解圖形與坐標的關系；會解一元二次方程．