Question

5．如圖1，已知在直角坐標(biāo)系xOy中，正△OBC的邊長(zhǎng)和等腰直角△DEF的底邊都為6，點(diǎn)E與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，點(diǎn)D、B在x軸上，連結(jié)FC，在△DEF沿X軸的正方向以每秒$\sqrt{3}$+1個(gè)單位運(yùn)動(dòng)時(shí)，邊EF所在直線和邊OC所在直線相交于G，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．

（1）如圖2，當(dāng)t=1時(shí)，①求OE的長(zhǎng)；②求∠FGC的度數(shù)；③求G點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①如圖3，當(dāng)t為多少時(shí)，點(diǎn)F恰在△OBC的OC邊上；
②在點(diǎn)F、C、G三點(diǎn)不共線時(shí)，記△FCG的面積為S，用含t的代數(shù)式表示S，并寫出t的相應(yīng)取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①把t=1代入求解即可，
②由等腰直角三角形及等邊三角形的性質(zhì)得出∠DEF=45°，∠COB=60°，再利用∠FGC=∠OGE=180°-45°-60°求解即可．
③過點(diǎn)G作GH⊥OE于點(diǎn)H，先求出GH，利用OH+HE=OH+$\sqrt{3}$OH=1+$\sqrt{3}$，得出OH=1，即可得出G點(diǎn)坐標(biāo)
（2）①過點(diǎn)G作GP⊥OB于點(diǎn)P，設(shè)OP=a，由特殊三角形性質(zhì)得出GP=$\sqrt{3}$a=PE=DP，利用DE=DP+PE=2$\sqrt{3}$a=6，得a=$\sqrt{3}$，利用OE=OP+PE=（1+$\sqrt{3}$）a，即可得出t的值；
②分三種情況當(dāng)0＜t＜$\sqrt{3}$時(shí)，當(dāng)$\sqrt{3}$＜t＜3時(shí)，當(dāng)t＞3時(shí)，分別求解即可．

解答 解：（1）①∵△DEF沿X軸的正方向以每秒$\sqrt{3}$+1個(gè)單位運(yùn)動(dòng)，
∴OE=$\sqrt{3}$+1，
②∵在等腰直角△DEF中，∠DEF=45°，在等邊△BOC中，∠COB=60°，
∴∠FGC=∠OGE=180°-45°-60°=75°．
③如圖2，過點(diǎn)G作GH⊥OE于點(diǎn)H，

∵∠COB=60°，
∴GH=$\sqrt{3}$OH=HE，
∴OH+HE=OH+$\sqrt{3}$OH=1+$\sqrt{3}$，即OH=1，
∴G（1，$\sqrt{3}$）．
（2）①如圖3，過點(diǎn)G作GP⊥OB于點(diǎn)P，設(shè)OP=a，

∴GP=$\sqrt{3}$a=PE=DP，
∴DE=DP+PE=2$\sqrt{3}$a=6，得a=$\sqrt{3}$，
∴OE=OP+PE=（1+$\sqrt{3}$）a，即t=$\frac{（1+\sqrt{3}）a}{1+\sqrt{3}}$=a=$\sqrt{3}$，
②當(dāng)0＜t＜$\sqrt{3}$時(shí)，如圖4，過點(diǎn)F，C作GM⊥DE，CN⊥OB，

OH=t，HG=$\sqrt{3}$t=EH，
∴HM=3-$\sqrt{3}$t，HN=3-t，MH=6，F(xiàn)M=3，CN=3$\sqrt{3}$，
則S_△FCG=S_梯形MNCF-S_梯形GHMF-S_梯形GHNC=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$t²-（6+3$\sqrt{3}$）t+$\frac{9\sqrt{3}+9}{2}$（0＜t＜$\sqrt{3}$），
同理，當(dāng)$\sqrt{3}$＜t＜3時(shí)，S_△FCG=-$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$t²+（6+3$\sqrt{3}$）t-$\frac{9\sqrt{3}+9}{2}$，
當(dāng)t＞3時(shí)，S_△FCG=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$t²-（6+3$\sqrt{3}$）t+$\frac{9\sqrt{3}+9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了特殊三角形及梯形的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是能結(jié)合圖形，分三種情況討論求解．