Question

9．如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號(hào)，已知A、B兩船相距100（$\sqrt{3}+1$）海里，船C在船A的北偏東60°方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測點(diǎn)D，測得船C正好在觀測點(diǎn)D的南偏東75°方向上．
（1）求出A與C間的距離AC；
（2）已知距觀測點(diǎn)D處100海里范圍內(nèi)有暗礁，若巡邏船A沿直線AC去營救故障船C，在去營救的途中無觸暗礁危險(xiǎn)．
（填“有”或“無”，不必說明理由，參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}≈1.41，\sqrt{3}≈1.73$）

Answer 1

分析 （1）作CE⊥AB，設(shè)AE=x海里，則BE=CE=$\sqrt{3}$x海里．根據(jù)AB=AE+BE=x+$\sqrt{3}$x=100（$\sqrt{3}$+1），求得x的值后即可求得AC的長；
（2）過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，設(shè)AF=y，則DF=CF=$\sqrt{3}$y，根據(jù)AC=AF+FC得出AC=y+$\sqrt{3}$y=200，求出y的值，再根據(jù)AD的長和∠DAF的度數(shù)，求出線段DF的長，然后與100比較即可得到答案．

解答 解：（1）如圖，作CE⊥AB，
由題意得：∠ABC=45°，∠BAC=60°，
設(shè)AE=x海里，
在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°=$\sqrt{3}$x；
在Rt△BCE中，BE=CE=$\sqrt{3}$x．
則AE+BE=x+$\sqrt{3}$x=100（$\sqrt{3}$+1），
解得：x=100．
AC=2x=200．
答：A與C之間的距離AC為200海里．

（2）過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，
在△ACD中，∠DAC=60°，∠ADC=75°，則∠ACD=45°，
設(shè)AF=y，則DF=CF=$\sqrt{3}$y，
∴AC=y+$\sqrt{3}$y=200，
解得：y=100（$\sqrt{3}$-1），
∴AD=2y=200（$\sqrt{3}$-1），
∴DF=$\sqrt{3}$AF=$\sqrt{3}$×100（$\sqrt{3}$-1）≈126.3海里，
∵126.3＞100，
∴巡邏船A沿直線AC航線，在去營救的途中無觸暗礁危險(xiǎn)．
故答案為：無．

點(diǎn)評 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解．