Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-2，0）、B（4，0）、C（0，2）．
（1）請(qǐng)用尺規(guī)作出△ABC的外接圓⊙P（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求出（1）中外接圓圓心P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)C的坐標(biāo)改為（0，a），其余條件不變，是否存在這樣的點(diǎn)C使得∠ACB=45°？如果存在，請(qǐng)直接寫出a的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）作AC和AB線段的垂直平分線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為△ABC的外接圓的圓心；
（2）根據(jù)（1）可知：直線EF是線段AB的垂直平分線，則直線EF的解析式為：x=1，因?yàn)辄c(diǎn)P一定在直線EF上，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，設(shè)P（1，y），根據(jù)PA=PC及兩點(diǎn)的距離公式列方程解出即可；
（3）如圖3，存在，如圖3，當(dāng)點(diǎn)C在y軸的正半軸時(shí)，則a＞0，構(gòu)建△ABC的外接圓⊙P，由∠ACB=45°，可知圓心角∠ACB=90°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3），根據(jù)兩點(diǎn)距離公式代入PA=PC中列方程可解出a的值，同理在y軸的負(fù)半軸上也有一點(diǎn)C符合條件，且a=-3-$\sqrt{17}$．

解答 解：（1）如圖1，畫△ABC的外接圓⊙P；

（2）如圖2，∵A（-2，0）、B（4，0），
∴AB=4，直線EF的解析式為：x=1，
∴P的橫坐標(biāo)為1，
設(shè)P（1，y），
由PA=PC得：（1+2）²+（y-0）²=（1-0）²+（y-2）²，
解得：y=-1，
∴P（1，-1）；
（3）存在，
如圖3，當(dāng)點(diǎn)C在y軸的正半軸時(shí)，則a＞0，
作△ABC的外接圓⊙P，連接PA、PB、PC，過P作PD⊥x軸于D，
∴AD=BD，
∴AP=PB，
∵∠ACB=45°，
∴∠APB=90°，
∴∠PAB=∠PBA=45°，
∴△PAD是等腰直角三角形，
∴AD=PD，
∵A（-2，0）、B（4，0），
∴P（1，3），
∵PA=PC，
則（1+2）²+（3-0）²=（1-0）²+（3-a）²，
解得：a₁=3+$\sqrt{17}$，x₂=3-$\sqrt{17}$（舍），
同理，在y軸的負(fù)半軸上還存在一點(diǎn)C，則a=-3-$\sqrt{17}$，
綜上所述，a的值為3+$\sqrt{17}$或-3-$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形的綜合題，考查了三角形的外接圓，明確三邊垂直平分線的交點(diǎn)就是三角形外接圓的圓心，叫外心，此題的解題思路為：①構(gòu)建三角形的外接圓，利用45°的圓周角得到90°的圓心角，求外接圓圓心的坐標(biāo)，②根據(jù)同圓的半徑相等和兩點(diǎn)距離公式列式求解．