Question

4．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向C點以2cm/s的速度移動．
（1）如果點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，幾秒鐘后，△PBQ的面積等于8cm²？
（2）在（1）中，△PBQ的面積能否等于△ABC面積的一半？說明理由；
（3）幾秒后，點P，點Q相距4$\sqrt{2}$cm？

Answer 1

分析 （1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，使△PBQ的面積為8cm²，得到BP=6-x，BQ=2x，根據(jù)三角形的面積公式得出方程$\frac{1}{2}$×（6-x）×2x=8，求出即可；
（2）△ABC面積為36cm²，同（1）列方程解答即可；
（3）設(shè)t秒后，點P，點Q相距4$\sqrt{2}$cm，依題意得BP=6-t，BQ=2t，利用勾股定理列方程求解．

解答 解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，使△PBQ的面積為8cm²，
BP=6-x，BQ=2x，
∵∠B=90°，
∴$\frac{1}{2}$BP×BQ=8，
∴$\frac{1}{2}$（6-x）×2x=8，
∴x₁=2，x₂=4．
答：如果點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，經(jīng)過2或4秒鐘，使△PBQ的面積為8cm²．
（2）由題意得$\frac{1}{2}$BP×BQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×12×6，
$\frac{1}{2}$（6-x）×2x=18，
x²-6x+18=0，
△=36-72=-36＜0，
此方程無解，△PBQ的面積不能等于△ABC面積的一半；
（3）設(shè)t秒后，點P，點Q相距4$\sqrt{2}$cm，由題意得：
（2t）²+（6-t）²=32，
整理得：（5x-2）（x-2）=0，
解得：x₁=$\frac{2}{5}$，x₂=2，
∵BC=3cm，
∴x=2不合題意．
答：$\frac{2}{5}$秒后，點P，點Q相距4$\sqrt{2}$cm．

點評 此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用三角形的面積與勾股定理得出等量關(guān)系解決問題．