Question

2．如圖，在平行四邊形ABCD中，延長BA至點(diǎn)E，使AE=AB，點(diǎn)F、P在邊AD所在的直線上，EF∥CP．
（1）求證：DF-DP=BC；
（2）的條件下，若CD=15，EF=20，tan∠AFE=$\frac{3}{4}$，BC=14，求DF的長．

Answer 1

分析 （1）證出∠EAF=∠CDP，∠F=∠P，由AAS證明△AEF≌△DCP，得出DP=AF，即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，與平行四邊形的性質(zhì)得出AE=AB=CD=15，AD=BC=14，由三角函數(shù)求出EG=12，F(xiàn)G=16，由勾股定理求出AG=9，得出AF=7，即可得出DF的長．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAF=∠CDA，
∴180°-∠BAF=180°-∠CDA，
∴∠EAF=∠CDP，
∵AE=AB，
∴AE=DC，
∵EF∥CP，
∴∠F=∠P，
在△AEF和△DCP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠CDP}&{\;}\\{∠F=∠P}&{\;}\\{AE=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DCP（AAS），
∴DP=AF，
∵DF-AF=AD，
∴DF-DP=BC；
（2）過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE=AB=CD=15，AD=BC=14，
在Rt△EFG中，tan∠AFE=$\frac{EG}{FG}$=$\frac{3}{4}$，
∴sin∠AFE=$\frac{EG}{EF}$=$\frac{3}{5}$，cos∠AFE=$\frac{4}{5}$，
∴EG=sin∠AFE×EF=$\frac{3}{5}$×20=12，F(xiàn)G=cos∠AFE×EF=$\frac{4}{5}$×20=16，
∴在Rt△EFG中，由勾股定理得：AG═$\sqrt{1{5}^{2}-1{2}^{2}}$=9，
∴AF=FG-AG=16-9=7，
∴DF=AF+AD=7+14=21．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．