Question

10．將一副三角板Rt△ABD與Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如圖擺放，Rt△ABD中∠D所對(duì)直角邊與Rt△ACB斜邊恰好重合．以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且與AD交于點(diǎn) E，分別連接EB，EC．
（1）求證：EC平分∠AEB；
（2）求$\frac{{{S_{△{A}C{E}}}}}{{{S_{△{B}{E}C}}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根據(jù)圓周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代換得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；
（2）方法1、設(shè)AB與CE交于點(diǎn)M．根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出$\frac{AM}{MB}$=$\frac{AE}{EB}$．易求∠BAD=30°，由直徑所對(duì)的圓周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=$\sqrt{3}$BE，那么$\frac{AM}{MB}$=$\frac{AE}{EB}$=$\sqrt{3}$．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．證明△AFM∽△BGM，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出$\frac{AF}{BG}$=$\frac{AM}{MB}$=$\sqrt{3}$，進(jìn)而求出$\frac{{{S_{△{A}C{E}}}}}{{{S_{△{B}{E}C}}}}$=$\frac{\frac{1}{2}CE•AF}{\frac{1}{2}CE•BG}$=$\frac{AF}{BG}$=$\sqrt{3}$．
方法2、易求∠BAD=30°，由直徑所對(duì)的圓周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=$\sqrt{3}$BE，那么$\frac{AM}{MB}$=$\frac{AE}{EB}$=$\sqrt{3}$，再用角平分線定理判斷出CP=CQ，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，
∴∠AEC=∠BEC，
即EC平分∠AEB；

（2）解：如圖，設(shè)AB與CE交于點(diǎn)M．
∵EC平分∠AEB，
∴$\frac{AM}{MB}$=$\frac{AE}{EB}$．
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，
∴∠BAD=30°，
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，
∴∠AEB=90°，
∴tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AE=$\sqrt{3}$BE，
∴$\frac{AM}{MB}$=$\frac{AE}{EB}$=$\sqrt{3}$．
作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．
在△AFM與△BGM中，
∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，
∴△AFM∽△BGM，
∴$\frac{AF}{BG}$=$\frac{AM}{MB}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{{{S_{△{A}C{E}}}}}{{{S_{△{B}{E}C}}}}$=$\frac{\frac{1}{2}CE•AF}{\frac{1}{2}CE•BG}$=$\frac{AF}{BG}$=$\sqrt{3}$．

方法2、如圖1，
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，
∴∠BAD=30°，
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，
∴∠AEB=90°，
∴tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AE=$\sqrt{3}$BE，
過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AE于P，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥EB交延長(zhǎng)線于Q，
由（1）知，EC是∠AEB的角平分線，
∴CP=CQ，
∴$\frac{{{S_{△{A}C{E}}}}}{{{S_{△{B}{E}C}}}}$=$\frac{\frac{1}{2}AE•CP}{\frac{1}{2}BE•CQ}$=$\frac{AE}{BE}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，通過(guò)作輔助線得出$\frac{AF}{BG}$=$\frac{AM}{MB}$=$\sqrt{3}$是解題的關(guān)鍵．