Question

1．如圖，邊長為1的正方形ABCD一邊AD在x負半軸上，直線l：y=$\frac{1}{2}$x+2經(jīng)過點
B（x，1）與x軸，y軸分別交于點H，F(xiàn)，拋物線y=-x²+bx+c頂點E在直線l上．
（1）求A，D兩點的坐標(biāo)及拋物線經(jīng)過A，D兩點時的解析式；
（2）當(dāng)拋物線的頂點E（m，n）在直線l上運動時，連接EA，ED，試求△EAD的面積S與m之間的函數(shù)解析式，并寫出m的取值范圍；
（3）設(shè)拋物線與y軸交于G點，當(dāng)拋物線頂點E在直線l上運動時，以A，C，E，G為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出E點坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過直線l的解析式求得B的坐標(biāo)，進而根據(jù)正方形的邊長即可求得A、D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得拋物線經(jīng)過A，D兩點時的解析式；
（2）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求得E的縱坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$m+2，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求得S與m之間的函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AC=EQ，AC∥EQ，易證得△EHQ≌△CDA，從而得出E的橫坐標(biāo)為-1，然后代入直線l的解析式即可求得E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵直線l：y=$\frac{1}{2}$x+2經(jīng)過點B（x，1），
∴1=$\frac{1}{2}$x+2，解得x=-2，
∴B（-2，1），
∴A（-2，0），D（-3，0），
∵拋物線經(jīng)過A，D兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4-2b+c=0}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴拋物線經(jīng)過A，D兩點時的解析式為y=-x²-5x-6；

（2）∵點E（m，n）在直線l上，
∴n=$\frac{1}{2}$m+2，
∴S=$\frac{1}{2}$×1×[±（$\frac{1}{2}$m+2）]=±（$\frac{1}{4}$m+1），
即S=$\frac{1}{4}$m+1（m＞-4）或S=-$\frac{1}{4}$m-1（m＜-4）；
（3）如圖，若以A，C，E，G為頂點的四邊形能成為平行四邊形，則AC=EG，AC∥EG，
作EM∥y軸交過G點平行于x軸的直線相交于M，則EM⊥GM，△EMG≌△CDA，
∴GM=AD=1，
∴E的橫坐標(biāo)為±1，
∵點E在直線l上，
∴y=$\frac{1}{2}$×（-1）+2=$\frac{3}{2}$，或y=$\frac{1}{2}$×1+2=$\frac{5}{2}$，
當(dāng)AC為對角線時，有E和G的橫坐標(biāo)之和等于A和C的橫坐標(biāo)之和，故可求得E（-5，-$\frac{1}{2}$）
∴E（-1，$\frac{3}{2}$）；（1，$\frac{5}{2}$）或（-5，-$\frac{1}{2}$）；
由于E為拋物線的頂點，G為拋物線與y軸的交點，故將其坐標(biāo)代入y=-x²+bx+c，
檢驗可知當(dāng)E�。�1，$\frac{5}{2}$）或（-5，-$\frac{1}{2}$）時，與此時的A、C、E構(gòu)成平行四邊形的G點并不是y軸與拋物線的交點，與前提相矛盾；
綜上，滿足題意的E的坐標(biāo)為（-1，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，平行四邊形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，拋物線上點的坐標(biāo)特征，確定GH=AD=1是解題的關(guān)鍵．