Question

已知關(guān)于x的方程x²-10x+k=0有實(shí)數(shù)根，求滿足下列條件的k的值：
（1）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根；    
（3）有一個(gè)正數(shù)根和一個(gè)負(fù)數(shù)根；
（4）兩個(gè)根都小于2．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式,拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：由關(guān)于x的一元二次方程x²-10x+k=0有實(shí)數(shù)根，根據(jù)根的判別式的意義可知道△≥0，求出k的取值范圍，再結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以求得答案．
（1）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，△≥0，即為k的取值范圍；
（2）有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，x₁+x₂＞0，x₁•x₂＞0，
（3）有一個(gè)正數(shù)根和一個(gè)負(fù)數(shù)根，x₁•x₂＜0，
（4）兩個(gè)根都小于2，因?yàn)閤₁+x₂=10，所以方程無解．

解答：解：關(guān)于x的一元二次方程x²-10x+k=0有實(shí)數(shù)根，
根據(jù)根的判別式的意義可知道△≥0，
則100-4k≥0，
解得k≤25．
（1）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，△≥0，
根據(jù)根的判別式的意義可知道△≥0，
則100-4k≥0，
解得k≤25．
（2）有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，x₁+x₂＞0，x₁•x₂＜0，
即：x₁+x₂=10＞0，x₁•x₂=k＞0，
故它的取值范圍是0＜k＜25．
（3）有一個(gè)正數(shù)根和一個(gè)負(fù)數(shù)根，x₁•x₂＜0，
即：k＜0，
故它的取值范圍是k＜0．
（4）兩個(gè)根都小于2，因?yàn)閤₁+x₂=10，所以方程無解．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；也考查了一元二次方程的定義．