Question

10．如圖，正方形OABC的邊OA，OC在坐標(biāo)軸上，點B的坐標(biāo)為（-4，4）．點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點O運動；點Q從點O同時出發(fā)，以相同的速度沿x軸的正方向運動，連接BP，過P點作BP的垂線，與過點Q平行于y軸的直線l相交于點D．BD與y軸交于點E，連接PE．設(shè)點P運動的時間為t（s）．
（1）當(dāng)t=1時，求點D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)△POD的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在P的運動過程中，是否存在某一時刻，使得△PBE為等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，先證明△APB≌△DQP，得AP=DQ，由此即可解決問題．
（2）首先證明△APB≌△DQP，得AP=DQ，再根據(jù)S_△POD=$\frac{1}{2}$×OP×DQ即可解決問題．
（3）如圖2中，連接BO交PE于G．先證明△PBD是等腰直角三角形，再分兩種情形①BP=BE，②EB=EP求解即可．

解答 解：（1）如圖1中，

t=1時，AP=OQ=1，
∴AO=PQ，
∵四邊形AOCB是正方形，
∴AB=AO=PQ，
∵∠BPD=∠DQP=90°，
∴∠APB+∠DPQ=90°，∠DPQ+∠PDQ=90°，
∴∠APB=∠PDQ，
在△PAB和△DQP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠PDQ}\\{∠PAB=∠DQP=90°}\\{AB=PQ}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△DQP，
∴PA=DQ=1，
∴點D坐標(biāo)（1，1）．

（2）AP=OQ=t，
∴AO=PQ，
∵四邊形AOCB是正方形，
∴AB=AO=PQ，
∵∠BPD=∠DQP=90°，
∴∠APB+∠DPQ=90°，∠DPQ+∠PDQ=90°，
∴∠APB=∠PDQ，
在△PAB和△DQP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠PDQ}\\{∠PAB=∠DQP=90°}\\{AB=PQ}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△DQP，
∴PA=DQ=t，
∴S_△POD=$\frac{1}{2}$×OP×DQ=$\frac{1}{2}$×（4-t）•t=-$\frac{1}{2}$t²+2t．（0＜t≤4）．

（3）如圖2中，連接BO交PE于G．

∵△PAB≌△DQP，
∴PB=PD，∵∠BPD=90°，
∴∠PBD=∠PDB=45°，
∵△PBE是等腰三角形，
∴有兩種可能①BP=BE，②BE=PE，
①當(dāng)BP=BE時，在Rt△BAP和Rt△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BE}\\{BA=BC}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△BCE，
∴AP=EC，∵OA=OC，∠ABP=∠CBE=22.5°，
∴OP=OE．
∴OB垂直平分線段PE，
∴∠PBO=∠EBO=22.5°，
∴∠PBA=∠PBO，
∵PA⊥AB，PG⊥BO，
∴PA=PG，
∵∠AOB=45°，
∴∠GPO=∠GOP=45°，
∴PA=PG=GO，
設(shè)PA=PG=GO=x，則OP=$\sqrt{2}$x，
∴x+$\sqrt{2}$x=4，
∴x=4$\sqrt{2}$-4，
∴t=4$\sqrt{2}$-4，
②EB=PE時，點P與點O重合，此時t=4，
綜上所述t=4$\sqrt{2}$-4或4秒時，△PBE是等腰三角形．

點評 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，學(xué)會分類討論，屬于中考常考題型．