Question

5．某學(xué)�；顒有〗M在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過程：
（1）【操作發(fā)現(xiàn)】
在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則下列結(jié)論正確的是①②③④（填序號即可）
①AF=AG=$\frac{1}{2}$AB；②MD=ME；③整個(gè)圖形是軸對稱圖形；④MD⊥ME．
（2）【數(shù)學(xué)思考】
在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則MD與ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請給出證明過程；
（3）【類比探究】
在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀為等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）操作發(fā)現(xiàn)：由條件可以通過三角形全等和軸對稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（2）數(shù)學(xué)思考：作AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出四邊形AFMG是平行四邊形，從而得出△DFM≌△MGE，根據(jù)其性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（3）類比探究：作AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．

解答 解：（1）操作發(fā)現(xiàn)：
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90°
在△ADB和△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠AEC}\\{∠ABD=∠ACE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴BD=CE，AD=AE，
∵DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，
∴AF=BF=DF=$\frac{1}{2}$AB，AG=GC=GE=$\frac{1}{2}$AC．
∵AB=AC，
∴AF=AG=$\frac{1}{2}$AB，故①正確；
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，
∴BM=CM．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，
即∠DBM=∠ECM．
在△DBM和△ECM中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠DBM=∠ECM}\\{BM=CM}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△ECM（SAS），
∴MD=ME．故②正確；
如圖1．連接AM，根據(jù)前面的證明可以得出將圖形1，沿AM對折左右兩部分能完全重合，
∴整個(gè)圖形是軸對稱圖形，故③正確．
∵AB=AC，BM=CM，
∴AM⊥BC，
∴∠AMB=∠AMC=90°，
∵∠ADB=90°，
∴四邊形ADBM四點(diǎn)共圓，
∴∠ADM=∠ABM，
∵∠AHD=∠BHM，
∴∠DAB=∠DMB，故④正確，
故答案為：①②③④

（2）數(shù)學(xué)思考：
MD=ME，MD⊥ME．
理由：如圖2，作AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB，AG=$\frac{1}{2}$AC．
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF⊥AB，DF=$\frac{1}{2}$AB，EG⊥AC，EG=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG．
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，
∴MF∥AC，MG∥AB，
∴四邊形AFMG是平行四邊形，
∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM．
∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE，
∴∠DFM=∠MGE．
在△DFM和△MGE中，$\left\{\begin{array}{l}{FM=GE}\\{∠DFM=∠MGE}\\{DF=MG}\end{array}\right.$
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴DM=ME，∠FDM=∠GME．
∵M(jìn)G∥AB，
∴∠GMH=∠BHM．
∵∠BHM=90°+∠FDM，
∴∠BHM=90°+∠GME，
∵∠BHM=∠DME+∠GME，
∴∠DME+∠GME=90°+∠GME，
即∠DME=90°，
∴MD⊥ME．
∴DM=ME，MD⊥ME；

（3）類比探究：等腰直角三角形，理由如下：
∵點(diǎn)M、F、G分別是BC、AB、AC的中點(diǎn)，
∴MF∥AC，MF=$\frac{1}{2}$AC，MG∥AB，MG=$\frac{1}{2}$AB，
∴四邊形MFAG是平行四邊形，
∴MG=AF，MF=AG．∠AFM=∠AGM
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°
∴MF=EG，DF=MG，∠AFM-∠AFD=∠AGM-∠AGE，
即∠DFM=∠MGE．
在△DFM和△MGE中，$\left\{\begin{array}{l}{FM=GE}\\{∠DFM=MGE}\\{DF=MG}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴MD=ME，∠MDF=∠EMG．
∵M(jìn)G∥AB，
∴∠MHD=∠BFD=90°，
∴∠HMD+∠MDF=90°，
∴∠HMD+∠EMG=90°，
即∠DME=90°，
∴△DME為等腰直角三角形，
故答案為：等腰直角三角形

點(diǎn)評 本題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的中位線的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)制造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．