Question

3．如圖，雙曲線y=$\frac{2}{x}$（x＞0），y=$\frac{12}{x}$（x＞0），P、Q為y軸正半軸上兩點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，a-2），PQ=4，分別過(guò)P、Q兩點(diǎn)作x軸的平行線交兩支曲線于C、D、A、B（如圖）
（1）若CD=3AB，求a的值；
（2）連結(jié)PA、QD，若PA⊥QD，求a的值；
（3）當(dāng)四邊形PQBC為矩形時(shí)，
①求a的值；
②在射線PS上從C點(diǎn)向右依次截取C₁C=C₂C₁=…=C_kC_k-1=PC，分別過(guò)C₁，C₂，…C_k作線段C₁B₁，C₂B₂…C_kB_k與QT垂直，垂足為B₁，B₂…B_k，問(wèn)是否存在這樣的正整數(shù)k使線段C_k-3B_k-3與雙曲線y=$\frac{k}{x}$有交點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出正整數(shù)k；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）用a的代數(shù)式表示A、B、C、D的坐標(biāo)，根據(jù)CD=3AB，列出方程即可解決問(wèn)題；
（2）首先證明∠APQ=∠PDQ，由tan∠APQ=tan∠PDQ，可得$\frac{AQ}{PQ}$=$\frac{PQ}{PD}$，由此列出方程即可解決問(wèn)題；
（3）①當(dāng)四邊形PQBC為矩形時(shí)，根據(jù)QB=PC，列出方程即可解決問(wèn)題；
②用k的代數(shù)式表示C_k-3、B_k-3的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出不等式組即可解決問(wèn)題；

解答 解：（1）由題意Q（0，a+2），A（$\frac{2}{a+2}$，a+2），B（$\frac{12}{a+2}$，a+2），C（$\frac{2}{a-2}$，a-2），D（$\frac{12}{a-2}$，a-2），
∵CD=3AB，
∴$\frac{12}{a-2}$-$\frac{2}{a-2}$=3（$\frac{12}{a+2}$-$\frac{2}{a+2}$），
解得a=4．
經(jīng)檢驗(yàn)a=4是分式方程的解．
∴a=4．

（2）如圖連接PA、DQ交于點(diǎn)G．

∵PA⊥DQ，
∴∠PGD=90°，
∴∠APQ+∠DPG=90°，∠DPG+∠PDG=90°，
∴∠APQ=∠PDQ，
∴tan∠APQ=tan∠PDQ，
∴$\frac{AQ}{PQ}$=$\frac{PQ}{PD}$，
∴$\frac{\frac{2}{a+2}}{4}$=$\frac{4}{\frac{12}{a-2}}$．
解得a=$\frac{\sqrt{22}}{2}$或-$\frac{\sqrt{22}}{2}$（舍棄），
經(jīng)檢驗(yàn)a=$\frac{\sqrt{22}}{2}$是分式方程的解，且符合題意．

（3）①當(dāng)四邊形PQBC是矩形時(shí)，QB=PC，
∴$\frac{12}{a+2}$=$\frac{2}{a-2}$，
解得a=$\frac{14}{5}$，
經(jīng)檢驗(yàn)a=$\frac{14}{5}$的分式方程的解，且符合題意．
②由①可知P（0，$\frac{4}{5}$），C（$\frac{5}{2}$，$\frac{4}{5}$），
∵C₁C=C₂C₁=…=C_kC_k-1=PC，
∴C_k-3（[（k-2）$\frac{5}{2}$，$\frac{4}{5}$]，B_k-3[（k-2）$\frac{5}{2}$，$\frac{24}{5}$]，
由題意$\frac{4}{5}$≤$\frac{k}{（k-2）\frac{5}{2}}$≤$\frac{24}{5}$，
解得$\frac{24}{11}$≤k≤4，
∵K是整數(shù)，
∴k=4或3（舍棄），
∴k=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)綜合題、矩形的判定和性質(zhì)、分式方程的解，不等式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程或不等式解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．