Question

17．如圖，已知?ABCD的頂點A（0，0），B（4，1），C（6，8）
（1）求頂點D的坐標；
（2）若DE=2EC，F(xiàn)為AD的中點，求AE與BF的交點I的坐標．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)?ABCD的頂點是A（0，0），B（4，1），C（6，8），過點D作DM⊥y軸于M，過點C作CH⊥x軸于H，過點B作BN⊥CH于N，連接AC，得到AM∥CN，CH=8，BN=2，∠MAC=∠ACN，由四邊形ABCD是平行四邊形，得到AD=BC，CD∥AB，∠DAC=∠ACB，∠MAD=∠BCN，所以△MAD≌△BCN，所以DM=BN=2，AM=CN=7，得到D（2，7）；
（2））如圖2過D作DG⊥x軸于G，過E作EP⊥x軸于P，過C作CQ⊥x軸于Q，得到DG∥EP∥CQ，DE=2EC，得到GP=2PQ，AG=2，AQ=6，GQ=4，GP=$\frac{8}{3}$，AP=$\frac{14}{3}$，
C（6，8），D（2，7），求得直線CD的解析式；y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{13}{2}$，當點E的橫坐標=$\frac{14}{3}$時，代入直線CD的解析式得；點E的縱坐標為$\frac{53}{6}$，求出點E（$\frac{14}{3}$，$\frac{15}{2}$），
因為F為AD的中點，F(xiàn)（1，$\frac{7}{2}$），把點A、E代入y=kx+b中得：直線AE的解析式為y=$\frac{45}{28}$x，把點B、F代入y=kx+b中得：直線BF的解析式為y=-$\frac{5}{6}$x+$\frac{13}{3}$，
聯(lián)立方程組即可求得結果

解答 解：（1）如圖1，?ABCD的頂點A（0，0），B（4，1），C（6，8），
過點D作DM⊥y軸于M，過點C作CH⊥x軸于H，過點B作BN⊥CH于N，連接AC，
∴AM∥CN，CH=8，BN=2，
∴∠MAC=∠ACN，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，CD∥AB，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠MAD=∠BCN，
在△ADM與△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠CNB}\\{∠MAD=∠BCN}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△MAD≌△BCN（AAS），
∴DM=BN=2，AM=CN=7，
∴D（2，7）；
（2）如圖2，過D作DG⊥x軸于G，過E作EP⊥x軸于P，過C作CQ⊥x軸于Q，
∴DG∥EP∥CQ，
∵DE=2EC，∴GP=2PQ，
∵AG=2，AQ=6，
∴GQ=4，∴GP=$\frac{8}{3}$，AP=$\frac{14}{3}$，
∵C（6，8），D（2，7），
∴直線CD的解析式；y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{13}{2}$，
當點E的橫坐標=$\frac{14}{3}$時，代入直線CD的解析式得：點E的縱坐標$\frac{15}{2}$，
∴點E（$\frac{14}{3}$，$\frac{23}{3}$），
∵F為AD的中點，
∴F（1，$\frac{7}{2}$），
把點A、E代入y=kx+b中得：直線AE的解析式為y=$\frac{45}{28}$x，
把點B、F代入y=kx+b中得：直線BF的解析式為y=-$\frac{5}{6}$x+$\frac{13}{3}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{45}{28}x}\\{y=-\frac{5}{6}x+\frac{13}{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{312}{205}}\\{y=\frac{377}{123}}\end{array}\right.$，
∴I（$\frac{312}{205}$，$\frac{377}{123}$）．

點評 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的判定，求點的坐標，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識點．