Question

9．問題提出：“任意給定一個矩形A，是否存在另一矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的三分之一？”
為解決上面的問題，我們先來研究幾種簡單的情況：
（1）已知矩形A的邊長分別為12和1，是否存在另一個矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的三分之一？
解：設所求矩形B的兩邊長分別是x和y，由題意得
$\left\{\begin{array}{l}{x+y=\frac{13}{3}}\\{xy=4}\end{array}\right.$，消去y化簡得3x²-13x+12=0
∵△=169-144＞0，
∴x₁=$\frac{4}{3}$，x₂=3，
∴已知矩形A的邊長分別為12和1時，存在另一矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的三分之一．
（2）如果已知矩形A的邊長分別為6和2，請依照上面的方法研究：是否存在滿足要求的矩形B？
問題解決：如果已知矩形A的邊長分別為m和n，請你研究，當m和n滿足什么條件時，矩形B存在？
應用提升：如果在同一平面直角坐標系中畫出了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的部分圖象，其中x和y分別表示矩形B的兩邊長，請你結(jié)合剛才的研究，回答下面的問題：（直接寫出結(jié)果即可，不需說明理由）．
①該圖象所表示矩形A的兩邊長各為多少？
②該圖象所表示矩形B的兩邊長各為多少？

Answer 1

分析 （1）利用求根公式解方程即可；
（2）與（1）類似求解；
問題解決：依照（1）、（2）的解法，設所求矩形B的兩邊長分別是x和y，由題意得方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y=\frac{m+n}{3}}\\{xy=\frac{mn}{3}}\end{array}\right.$，消去y化簡得3x²-（m+n）x+mn=0，然后根據(jù)判別式的意義求解；
應用提升：①利用函數(shù)圖象和待定系數(shù)法得到一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，則由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=5.5}\\{xy=7.5}\end{array}\right.$，利用問題解決中的結(jié)論設矩形A的邊長分別為m和n，則$\frac{m+n}{3}$=5.5，$\frac{mn}{3}$=7.5，然后求出m和n即可得到該圖象所表示矩形A的兩邊長；
②對于①中的方程組消去y化簡得x²-5.5x+7.5=0，人家利用求根公式解方程即可得到該圖象所表示矩形B的兩邊長．

解答 解：（1）x=$\frac{13±5}{2×3}$，
所以x₁=$\frac{4}{3}$，x₂=3；
故答案為$\frac{4}{3}$，3；
（2）設所求矩形B的兩邊長分別是x和y，由題意得
$\left\{\begin{array}{l}{x+y=\frac{8}{3}}\\{xy=4}\end{array}\right.$，消去y化簡得3x²-8x+12=0，
∵△=64-144＜0，
∴方程3x²-8x+12=0沒有實數(shù)解，
∴已知矩形A的邊長分別為6和2時，不存在另一矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的三分之一；
問題解決：設所求矩形B的兩邊長分別是x和y，由題意得
$\left\{\begin{array}{l}{x+y=\frac{m+n}{3}}\\{xy=\frac{mn}{3}}\end{array}\right.$，消去y化簡得3x²-（m+n）x+mn=0，
∵△=（m+n）²-12mn=m²+n²-10mn，
當m²+n²≥10mn時，△≥0，方程有實數(shù)解，
∴當m和n滿足m²+n²≥10mn時，矩形B存在；
應用提升：①一次函數(shù)解析式為y=-x+5.5，反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{5×1.5}{x}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=5.5}\\{xy=7.5}\end{array}\right.$，
設矩形A的邊長分別為m和n，則$\frac{m+n}{3}$=5.5，$\frac{mn}{3}$=7.5，解得m=15，n=1.5，即
∴該圖象所表示矩形A的兩邊長分別為15和1.5；
②方程組消去y化簡得x²-5.5x+7.5=0，
∵△=5.5²-4×7.5＞0，
∴x₁=2.5，x₂=3；
∴該圖象所表示矩形B的兩邊長分別為2.5和3．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查一元二次方程得應用．解決本題的關鍵是方程思想的運用．