Question

14．如圖，直線AB與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象交于A（1，4），B（4，n）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）是否存在x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使PA+PB最小，若存在求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=$\frac{m}{x}$中求出m即可得到反比例函數(shù)解析式；
（2）把B（4，n）代入y=$\frac{4}{x}$求出n得到B（4，1），作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，如圖，則A′（1，-4），連結(jié)A′B交x軸于P，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)PA+PB的值最小，接著利用待定系數(shù)法求出直線A′B的解析式，然后計(jì)算函數(shù)值為0時(shí)的自變量的值可得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）把A（1，4）代入y=$\frac{m}{x}$得m=1×4=4，
所以反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{x}$；
（2）存在．
把B（4，n）代入y=$\frac{4}{x}$得4n=4，解得n=1，
所以B（4，1），
作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，如圖，則A′（1，-4），連結(jié)A′B交x軸于P，則PA=PA′，
所以PA+PB=PA′+PB=A′B，
所以此時(shí)PA+PB的值最小，
設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b，
把A′（1，-4），B（4，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-4}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{3}}\\{b=-\frac{17}{3}}\end{array}\right.$，
所以直線A′B的解析式為y=$\frac{5}{3}$x-$\frac{17}{3}$，
當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{5}{3}$x-$\frac{17}{3}$=0，解得x=$\frac{17}{5}$，
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{17}{5}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式：先設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=xk（k為常數(shù)，k≠0）；再把已知條件（自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值）帶入解析式，得到待定系數(shù)的方程；接著解方程，求出待定系數(shù)；然后寫出解析式．也考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)．