Question

4．矩形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，CE、AF分別交BD于G、H兩點(diǎn)．
求證：（1）四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）EG=FH．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；
（2）可證明EG和FH所在的△DEG、△BFH全等即可．

解答 解：
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD，CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE=CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）∵四邊形AFCE是平行四邊形，
∴CE∥AF，
∴∠DGE=∠AHD=∠BHF，
∵AB∥CD，
∴∠EDG=∠FBH，
在△DEG和△BFH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGE=∠BHF}\\{∠EDG=∠FBH}\\{DE=BF}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△BFH（AAS），
∴EG=FH．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判斷和性質(zhì)以及全等三角形的判斷和性質(zhì)，熟記矩形的各種性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．