Question

3．已知關(guān)于x的方程mx²-（m+3）x+3=0（m≠0）．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且有一根大于1，求滿足條件的整數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）先計(jì)算判別式得到△=（m+3）²-4×m×3=（m-3）²，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到△≥0，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；
（2）利用公式法可求出x₁=1，x₂=$\frac{3}{m}$，然后利用整除性即可得到m的值．

解答 （1）證明：∵m≠0，
∴方程mx²-（m+3）x+3=0（m≠0）是關(guān)于x的一元二次方程，
∴△=（m+3）²-4×m×3
=（m-3）²，
∵（m-3）²≥0，即△≥0，
∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）解：∵x=$\frac{m+3±\sqrt{（m-3）^{2}}}{2m}$，
∴x₁=1，x₂=$\frac{3}{m}$，
∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且有一根大于1，
∴$\frac{3}{m}$為大于1的整數(shù)，
∵m為整數(shù)，
∴m=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了解一元二次方程．