Question

已知AB是等腰Rt△ABC的斜邊，AD是∠BAC的角平分線，求證：AC+CD=AB．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：作出圖形，過點D作DE⊥AB于E，判斷出△BDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BE=DE，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CD=DE，然后利用“HL”證明△ACD和△AED全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AC=AE，再根據(jù)AE+BE=AB等量代換即可得證．

解答：證明：如圖，過點D作DE⊥AB于E，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BE=DE，
∵AD是∠BAC的角平分線，
∴CD=DE，
∴CD=BE，
在△ACD和△AED中，

AD=AD CD=DE

，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC=AE，
∵AE+BE=AB，
∴AC+CD=AB．

點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．