Question

7．已知⊙O的半徑OA=3，B為⊙O上一點(diǎn)，延長OB，在OB延長線上截取一點(diǎn)C，使得BC=2，CD垂直于BC交AB延長線于點(diǎn)D，連接AC，若AC=CD，則AB=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 過O作OE⊥AB于E，由垂徑定理得出AB=2BE，由等腰三角形的性質(zhì)和對頂角相等得出∠OAB=∠OBA=∠CBD，∠ADC=∠DAC，證出∠OAC=90°，由勾股定理求出AC=DC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{A}^{2}}$=4，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，證明△OBE∽△DBC，得出對應(yīng)邊相等$\frac{BE}{BC}=\frac{OB}{BD}$，求出BE，即可得出結(jié)果．

解答 解：過O作OE⊥AB于E，如圖所示：
則AB=2BE，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=∠CBD，
∵CD⊥BC，
∴∠CBD+∠ADC=90°，
∵AC=DC，
∴∠ADC=∠DAC，
∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=∠CBD+∠ADC=90°，
∴AC=DC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠OEB=∠DCB=90°，∠OBE=∠DBC，
∴△OBE∽△DBC，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{OB}{BD}$，
即$\frac{BE}{2}=\frac{3}{2\sqrt{5}}$，
解得：BE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴AB=2BE=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
故答案為：$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握垂徑定理和勾股定理，由三角形相似得出對應(yīng)邊成比例是解決問題的關(guān)鍵．