Question

16．已知一個(gè)矩形紙片OACB，OB=6，OA=11，點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），經(jīng)過(guò)點(diǎn)O折疊該紙片，得折痕OP和點(diǎn)B′，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB′上，得折痕PQ和點(diǎn)C′，當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在邊OA上時(shí)BP的長(zhǎng)為
$\frac{11+\sqrt{13}}{3}$或$\frac{11-\sqrt{13}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)BP=t，AQ=m，首先過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于E，易證△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的長(zhǎng)，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到m=$\frac{1}{6}$t²-$\frac{11}{6}$t+6，即可求得t的值．

解答 解：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于E，
∴∠PEA=∠QAC′=90°，
∴∠PC′E+∠EPC′=90°，
∵∠PC′E+∠QC′A=90°，
∴∠EPC′=∠QC′A，
∴△PC′E∽△C′QA，
∴$\frac{PE}{AC′}$=$\frac{PC′}{C′Q}$，
設(shè)BP=t，AQ=m，
∵PC′=PC=11-t，PE=OB=6，C′Q=CQ=6-m，
AC′=$\sqrt{C{′Q}^{2}-{AQ}^{2}}$=$\sqrt{36-12m}$，
∴$\frac{6}{\sqrt{36-12m}}$=$\frac{11-t}{6-m}$．
∵$\frac{11-t}{6-m}$=$\frac{6}{t}$，
∴m=$\frac{1}{6}$t²-$\frac{11}{6}$t+6，
又∵36-12m=t²，
將m=$\frac{1}{6}$t²-$\frac{11}{6}$t+6代入36-12m=t²，
化簡(jiǎn)得，3t²-22t+36=0，
解得：t₁=$\frac{11+\sqrt{13}}{3}$，t₂=$\frac{11-\sqrt{13}}{3}$．
故答案為：$\frac{11+\sqrt{13}}{3}$或$\frac{11-\sqrt{13}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圖形的折疊問(wèn)題，矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想列方程的綜合運(yùn)用，運(yùn)用相似的性質(zhì)列比例式得出方程求出BP是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．