Question

17．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)EO交⊙O于D點(diǎn)，若BC=DC，AB=2$\sqrt{3}$，求$\widehat{AD}$的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 連結(jié)BD，如圖，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系，由BC=DC得$\widehat{BC}$=$\widehat{DC}$，則根據(jù)垂徑定理得到AC垂直平分BD，所以AB=AD，同樣可得DA=DB，則可判斷△ABD為等邊三角形，所以∠BAC=30°，∠ABD=60°，根據(jù)圓周角定理得∠AOD=2∠ABD=120°，然后在Rt△AEO中計(jì)算出AO，最后利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解答 解：連結(jié)BD，如圖，
∵BC=DC，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{DC}$，
∴AC垂直平分BD，
∴AB=AD，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，即AE=BE=$\sqrt{3}$，
∴DE⊥AB，
∴DA=DB，
∴AB=AD=DB，
∴△ABD為等邊三角形，
∴∠BAC=30°，∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
在Rt△AEO中，∵∠EAO=30°，
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE=1，AO=2OE=2，
∴$\widehat{AD}$的長(zhǎng)度=$\frac{120•π•2}{180}$=$\frac{4π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．解決本題的關(guān)鍵是證明△ABD為等邊三角形．