Question

2．已知四邊形ABCD是平行四邊形，且以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D．

（Ⅰ）如圖（1），若∠BAD=45°，求證：CD與⊙O相切；
（Ⅱ）如圖（2），若AD=6，AB=10，⊙O交CD邊于點(diǎn)F，交CB邊延長線于點(diǎn)E，求BE，DF的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接OD，欲證明CD是切線，只要證明OD⊥DC即可．
（2）如圖2中，連接DE，EF，BD，首先證明DE是直徑，再根據(jù)EF²=DE²-DF²=CE²-CF²，設(shè)DF=x，則CF=10-x，列出方程即可解決．

解答 （Ⅰ）證明：連接OD．
∵∠A=45°，OA=OD，
∴∠A=∠ADO=45°，
∴∠BOD=90°．
∵四邊形ABCD 是平行四邊形，
∴AB∥CD．
∴∠CDO+∠BOD=180°．
∴∠CDO=∠BOD=90°．
∴OD⊥DC，
∴CD與⊙O相切．
（Ⅱ）如圖2中，連接DE，EF，BD．
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°．
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠EBD=90°．
∴DE是⊙O直徑．
∴DE=AB=CD=10．
∴BE=BC=AD=6．
在Rt△DEF和Rt△CEF中，EF²=DE²-DF²，EF²=CE²-CF²
∴DE²-DF²=CE²-CF²．
設(shè) DF=x，則CF=10-x．
∴10²-x²=12²-（10-x）²．
解得$x=\frac{14}{5}$．即$DF=\frac{14}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查切線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)、勾股定理等知識，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，添加輔助線是解題的關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．