Question

7．△ABC和△ADE中，AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=α，點(diǎn)D在BC上，連接CE
（1）如圖1，若α=60°，則∠DCE=120°；
（2）如圖2，若α=90°，求∠DCE的度數(shù)；
（3）如圖3，若0°＜α＜60°，直接寫出∠DCE的度數(shù)（用含α的式子表示）

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)已知條件得到△ABC與△ADE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAE=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B=∠ACE=60°，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件得到∠ACD=∠AED=45°，求得∠ECO=∠DAO=45°，推出點(diǎn)A，C，E，D四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ACE+∠ADE=180°，于是得到結(jié)論；
（3）連接AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACD=∠AED=$\frac{1}{2}$（180°-α），又推出 點(diǎn)A，D，C，E四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠ACE=∠ADE=α，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，∵AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=60°，
∴△ABC與△ADE是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠EAC，AE=AD，
在△ABD與△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE，
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°，
故答案為：120°；

（2）∵等腰△ABC和等腰△ADE中，AB=AC，AD=DE，∠BAC=∠ADE=90°，
∴∠ACD=∠AED=45°，
∴∠ECO=∠DAO=45°，
∴點(diǎn)A，C，E，D四點(diǎn)共圓，
∴∠ACE+∠ADE=180°，
∵∠ADE=90°，
∴∠ACE=90°，
∴∠DCE=45°，

（3）連接AE，
∵AB=AC，AD=DE，∠BAC=∠ADE=α，
∴∠ACD=∠AED=$\frac{1}{2}$（180°-α），
∴點(diǎn)A，D，C，E四點(diǎn)共圓，
∴∠ACE=∠ADE=α，
∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=$\frac{1}{2}$（180°-α）+α=90°+$\frac{1}{2}α$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了四點(diǎn)共圓，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．