Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°．O是AC的中點，過點A、C的直線L繞點O按逆時針方向旋α角，交邊AB于點D，作CE∥AB交直線L于點E．當∠α=90°時，判斷四邊形EDBC是否菱形，并說明理由．

Answer 1

考點：菱形的判定,旋轉的性質

專題：

分析：根據∠α=∠ACB=90°先證明四邊形EDBC是平行四邊形．再利用Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2求得AB，AC，AO的長度；在Rt△AOD中，∠A=30°，AD=2，可求BD，比較得BD=BC，可證明四邊形EDBC是菱形．

解答：解：當∠α=90°時，四邊形EDBC是菱形．
∵∠α=∠ACB=90°，
∴BC∥ED，
∵CE∥AB，
∴四邊形EDBC是平行四邊形．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，設BC=2t，
∴∠A=30°，
∴AB=4t，AC=2

3

t，
∴AO=

1

2

AC=

3

t．
在Rt△AOD中，∠A=30°，OD=

1

2

AD，
AD=

OA2+OD2

=

( 3 )2+ 1 2 (AD)2

，
∴AD=2t，
∴BD=2t，
∴BD=BC．
又∵四邊形EDBC是平行四邊形，
∴四邊形EDBC是菱形．

點評：此題考查了菱形的判定勾股定理以及含30°角的直角三角形的性質．此題難度較大，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．