Question

13．若函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}+3x+5}{{x}^{2}+1}$的最大值是M，最小值是m，則M-m=5．

Answer 1

分析 根據(jù)題意把原式變形，根據(jù)方程有實(shí)根得到△＞0，求出y的范圍，得到y(tǒng)的最大值和最小值，計(jì)算即可．

解答 解：∵y=$\frac{{x}^{2}+3x+5}{{x}^{2}+1}$，
∴y（x²+1）=x²+3x+5，
∴（1-y）x²+3x+5-0，
△=9-4（1-y）×（5-y）≥0，
即4y²-24y+11≤0，
則（2y-1）（2y-11）≤0，
∴$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{11}{2}$，
∴M=$\frac{11}{2}$，m=$\frac{1}{2}$，
M-m=5，
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．