Question

4．如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°且AB=12cm，點D為AB邊上一動點（點D不與點A、B重合）．連結CD，以CD為腰向上作等腰直角△CDE，且∠DCE=90°．
（1）填空：∠BAC=45度；
（2）探索：
①隨著點D的移動，四邊形AECD面積是否發(fā)生變化？若變化，請說出它如何變化；若不變，請求出它的定值；
②當AD為多少時，△ADE的面積有最大值，并求出它的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質解答；
（2）①證明△ECA≌△DCB，得到四邊形AECD面積=△ACB的面積，計算即可；
②設AD=x，根據(jù)全等三角形的性質用x表示出BD，根據(jù)三角形的面積公式求出△ADE的面積的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質解答即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=12cm，
∴AC=BC=6$\sqrt{2}$cm，
∴△ACB的面積=$\frac{1}{2}$×AC×BC=36cm²，
∴∠BAC=∠B=45°，
故答案為：45；
（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∵∠ACB=90°，∠DCE=90°，
∴∠ECA=∠DCB，
在△ECA和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}\\{∠ECA=∠DCB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ECA≌△DCB，
∴四邊形AECD面積=△ACB的面積=36cm²，
即四邊形AECD面積為定值36cm²；
②∵△ECA≌△DCB，
∴AE=DB，∠EAC=∠B=45°，
∴∠EAD=90°，
設AD=x，則AE=DB=12-x，
△ADE的面積=$\frac{1}{2}$×AE×AD=$\frac{1}{2}$x×（12-x）=$-\frac{1}{2}$（x-6）²+18，
∴當AD為6時，△ADE的面積有最大值，它的最大值是18．

點評 本題考查的是等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、二次函數(shù)的解析式的確定以及性質的應用，掌握全等三角形的判定定理和性質定理、正確列出二次函數(shù)的解析式是解題的關鍵．